Đường phân giác của góc cắt tại khác.. Đường thẳng cắt tại khác.. Chứng minh rằng thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi.. Cho đa thức không phải là đa thức
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN TỈNH HƯNG YÊN
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11
NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm) Cho Chứng minh rằng
Câu 2 (4 điểm) Cho dãy số được xác định bởi
Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn Đường phân giác của góc cắt tại khác Gọi là điểm đối xứng với qua cắt tại khác là một điểm thay đổi trên cạnh ) Đường thẳng cắt tại khác Từ kẻ đường thẳng song song cắt tại Đường tròn ngoại tiếp cắt tại và cắt tại
Chứng minh rằng thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi
Câu 4 (4 điểm) Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn
Chứng minh rằng đa thức chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức ;
Câu 5 (4 điểm) Có học sinh đứng thành hàng dọc, cứ mỗi lần thầy giáo thổi còi thì
có đúng 2 học sinh đổi chỗ cho nhau Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể thấy tất cả các học sinh đều đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình hay không ?
- HẾT-
Người ra đề
Trang 2Đặng Thị Mến - ĐT 0979572198
ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
Câu 1 Cho Chứng minh rằng
(1).
Trong ba số luôn tồn tại hai số có tích không âm (nguyên lý
Dirchlet) Không mất tính tổng quát, giả sử
1đ
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
Do đó
1,5đ
Mà
1đ
Dấu “=” khi và chỉ khi hoặc và các hoán vị 0,5đ
Câu 2 Cho dãy số được xác định bởi
Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước.
Dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp
Ta có
1đ
Trang 3Với , đặt trong đó
1đ
Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy với
ta có 2 suy ra
(Ta có thể chứng minh trực tiếp , xem phần cuối)
1đ
Nếu thì
Nếu thì
1đ
Câu 3 Cho tam giác nội tiếp đường tròn Đường phân giác của góc cắt
tại khác Gọi là điểm đối xứng với qua cắt tại khác là một điểm thay đổi trên cạnh ) Đường thẳng cắt tại
khác Từ kẻ đường thẳng song song cắt tại Đường tròn ngoại tiếp cắt tại và cắt tại Chứng minh rằng
thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
+) là điểm chính giữa của cung của và E đối xứng qua nên
(g.c.g) là trung trực
1đ
Trang 4(do ).
Có
và cùng phía đối với nên thẳng hàng
1đ
+) Đường thẳng cắt tại khác
1đ
là đường kính của
Mà là điểm chính giữa cung chứa thì không
nên cố định Vậy đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay đổi
1đ
Câu 4 Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn
Chứng minh rằng chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức
Nếu thì bài toán luôn đúng
Giả sử
với và đa thức không chia hết cho và (1)
1đ
Trang 5Từ (2) cho ta có (3).
Giả sử thì
mâu thuẫn với (1)
1đ
mâu thuẫn với (1)
Suy ra giả sử sai, do đó Từ (3) ta được
Vậy
Vì khác đa thức hằng nên suy ra chia hết
cho ít nhất một trong hai đa thức và
1đ
Câu 5 Có học sinh đứng thành hàng dọc, cứ mỗi lần thầy giáo thổi còi thì có
đúng 2 học sinh đổi chỗ cho nhau Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể
thấy tất cả các học sinh đều đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình hay
không ?
Đánh số từ 1 đến n cho các bạn học sinh trong hàng dọc lúc đầu Ký hiệu là tập
các hoán vị của
1đ
Trang 6gọi là 1 nghịch thế của nếu và
Xét ánh xạ mà thu được từ bằng cách đổi chỗ hai vị trí kề nhau
và giữ nguyên các vị trí còn lại
Là hợp thành của ánh xạ Dễ thấy thu được từ bằng cách đổi vị
trí của và giữ nguyên các vị trí còn lại
1đ
Gọi là số nghịch thế của hoán vị
Ta có
Từ (1) và (2) suy ra (mod2) (3)
1đ
Giả sử là thứ tự của học sinh sau lần thổi còi thứ k của thầy giáo
Theo (3) ta có (mod2)
Nếu k lẻ thì do đó Vậy sau 2015 lần thổi còi, tất cả các
học sinh không thể đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình
1đ
Nhận xét:
Câu 2 ta có thể chứng minh trực tiếp như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro)
Trang 7Do đó theo định nghĩa
-HẾT
Đặng Thị Mến - ĐT 0979572198