Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I
Năm học: 2012-2013 Môn thi: Toán - Lớp 12 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi:
ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Đề gồm có 01 trang) Đơn vị ra đề: Trường THPT Thiên Hộ Dương
I Phần chung (7,0 điểm)
Câu I:(3 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 ( ) 1 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Xác định m để phương trình sau : − x3 + 3 x2 + m = 0có hai nghiệm
Câu II:(2 điểm)
1 Tính giá trị của biểu thức: 94 ( )0 , 75
3
log log
4 32
=
A
2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 2 ) [ ]
3 x ê 0; 2
đoạn [−4;1].
Câu III:(2 điểm)
Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc, tam giác OBC vuông cân tại
O, BC = a 2 Góc giữa AB và (OBC) bằng 300
1 Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC
2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
II Phần riêng (3,0 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
x y
−
+
=
3
2 , biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 5x + 2013
Câu Va (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: log2x+2log4(x− =1) 1.
2 Giải bất phương trình: 8
4
1
log 2 16
1 4
1 >
−
B Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
x y
−
+
=
3
2 , biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng: x + 5y - 2013 = 0
Câu Vb (2,0 điểm)
1 Cho y =y =e−xsinx Chứng minh rằng: y ''+2y'+2y =0
2 Chứng minh rằng: Với mọi m thì đồ thị hàm số
( ) 2 ( ) 3 2
x
y= + + + + + + luôn có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không đổi
Hết
Trang 2KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I Năm học: 2012-2013
Môn thi: Toán - Lớp 12
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Đề gồm có 01 trang) Đơn vị ra đề: Trường THPT Thiên Hộ Dương
I Phần chung (7,0 điểm)
I
1 Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 ( ) 1 có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) (2đ)
*Sự biến thiên Giới hạn :
−∞
=
=
−∞
→
−∞
x
xlim lim ; = =+∞
+∞
→ +∞
x
xlim lim Đạo hàm :y'=3x2 −6x,y'=0⇔x x==20
0.25 0.25
* Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2; +∞); nghịch biến
trên khoảng (0; 2)
*Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ=1; Cực tiểu tại x = 2; yCT=-3
0.25 0.25
* Bảng biến thiên :
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
0.25
2 Xác định m để phương trình sau : − x3 + 3 x2 + m = 0có hai
1 1
3 2
Trang 3Phương trình (*) có hai nghiệm thì đồ thị (C ) cắt đường thẳng (d) y =
m +1 tại hai điểm
−
=
→
−
= +
=
→
= +
⇔
4 3
1
0 1
1
m m
m m
0.25 0.25 0.25
II
3
log log
4 32
=
( )
9 1143
5 2 3
5 2 log
5 log
2
3 2
3
4
3 4 3
2
3 2
2
log 2
2 2
2 3
2
=
−
−
=
−
−
=
− +
−
=
−
−
−
0,25 0,25 0,25
2) Tìm GTLN và GTNNt của hàm số y=(x2−3)e tr n x ê [ ]0; 2 1đ Hàm số đã cho liên tục trên [0; 2]
( ) ( ) ( )
2 3 , '
3
0 3; 1 2 ; 2 2
=
= + − = ⇔ = −
[0;2] [0;2]
M = y = Miny= y = − e
0.5
0.25 0.25
III
Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc, tam giác
OBC vuông cân tại O, BC = a 2 Góc giữa AB và (OBC) bằng 30 0
1 Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.
2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
2 điểm
1
Theo gt ta có: OA (OBC) VOABC S ABC.OA
3
1
∆
=
⇒
⊥
Ta có: ∆OBC vuông cân tại O và BC = a 2⇒ OB =OC = a
2
2
1
a
⇒ ∆
Do OA⊥(OBC)⇒OB là hình chiếu của AB lên (OBC)
0,25 0.25
0.25
Trang 4( )
Xét ∆ AOB:
3
3 tan90
OB
OA = 0 = a
Vậy:
18
3
3
a
0.25
2
Gọi M là trung điểm BC Do ∆OBC vuông tại O nên M là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác OBC
Dựng Mx//OA ⇒Mx⊥(OBC)⇒Mx là trục của mặt (OBC)
Trong mp(OA, Mx) dựng đường trung trực của OA cắt OA tại N và
Mx tại I ⇒ IA = IO (1)
Mặt khác : I ∈ Mx ⇒ IO = IB = IC (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và bán
kính R = IC
Xét ∆IMC: IC= MC +MI = a =R
6
21
2 2
0,25 0.25
0.25 0.25
x y
−
+
=
3
2
, biết tiếp
(3 )2
5 '
x
y
−
=
Do tiếp tuyến song song với (d): y = 5x + 2013 ⇒ y’(x0) = 5
( ) ( )
−
=
→
=
=
→
=
⇔
≠
=
−
⇔
6 4
4 2
3 5 3
5
0 0
0 0
y x
x x
Vậy có hai tiếp tuyến: y = 5x - 6; y = 5x - 26
0,25 0.25 0.25 0.25
Va
1 Giải phương trình: log2x+2log4( x− =1) 1 1đ
ĐK: x > 1
( ) ( )
( ) ( )
=
−
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
nhan x
loai x
x x x
x
x x PT
2 1
0 2 2
1
1 1 log
2 2
0,25 0.25 0.25 0.25
4
1
log 2 16
1 4
1 >
−
( )1 0 3 4
1 4
1
4 − >
−
⇔
x x
BPT
4
1 >
=
x
t
( )
0 3
log 3 4
1 1
3 1 0 3 4 1
4 1
2
<
<
⇔
<
<
⇒
<
<
⇔
>
− +
−
⇔
x
t t
t
x
0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 5IVb Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x
x y
−
+
=
3
2
, biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng: x + 5y - 2013 = 0.
1đ
( )2
3
5 '
x
y
−
=
Do tiếp tuyến vuông góc với (d): x + 5y - 2013 ⇒ y’(x0) = 5
( ) ( )
−
=
→
=
=
→
=
⇔
≠
=
−
⇔
6 4
4 2
3 5 3
5
0 0
0 0
y x
x x
Vậy có hai tiếp tuyến: y = 5x - 6; y = 5x - 26
0.25 0.25 0.25 0.25
Vb
1 Cho y = y =e−xsinx Chứng minh rằng: y''+2y'+2y=0 1đ
x
x
xe y
x x
e y
−
−
−
=
−
=
cos 2 ''
sin cos '
(đpcm)
x e
x x
e xe
y y
0 0
0 sin 2 sin cos
2 cos
2 0 2 ' 2
"
=
⇔
= +
− +
−
⇔
= +
0.25 0.25
0.25 0.25
2 Chứng minh rằng: Với mọi m thì đồ thị hàm số
( ) 2 ( ) 3 2
x
khoảng cách giữa hai điểm cực trị không đổi.
1đ
Ta có :
( ) ( )
−
=
−
−
=
⇔
=
+ +
+ +
=
m x
m x
y
m m x m x
y
2 0
'
2 6
1 6 3 ' 2
Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A(-2 - m; 4) và B(-m; 0)
5 2
=
⇒AB (hằng số) (đpcm)
0.25 0.25
0.25 0.25 Hết
