Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I
Năm học: 2012-2013 Môn thi: Toán- lớp 12 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢC HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu I (3.0 điểm)
Cho hàm số ( ) 1 3 2
2 3 3
y= f x = − x + x − x ( C )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Xác định m để phương trình 3 2
− + − − = có 3 nghiệm phân biệt
Câu II (2.0 điểm)
1 Tính
= − +( )− −
÷
3
log 2 2
1
16
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x( ) x 9
x
= + trên đoạn [ ]2; 4
Câu III (2,0 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a
a) Tính thể tích của khối chóp theo a
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Học sinh chọn (câu IV.a; V.a hoặc IV.b; V.b)
Câu IV.a (2,0 điểm)
Cho hàm số:
1
x y x
= + Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại các giao điểm của ( )C với D: y=x
Câu V.a (1,0 điểm)
1) Giải phương trình : log2(x−3)+log2(x−1)=3
2) Giải bất phương trình sau: 2 2 3 1
2
2
x− x ≤
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x =x e trên đoạn −x [ ]0;2
Câu IV.b (2,0 điểm)
Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị và Ox
Câu V b (1,0 điểm)
1) Cho hàm số y= +(x 1)e x Chứng tỏ rằng: 'y − =y e x
Trang 22) Cho hàm số:
1
y x
= +
Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d: y=kx cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt.
-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
1 (3 đ) 1) (2 điểm)
TXĐ : D=¡ 0.25
Sự biến thiên:
Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim
x y
→−∞ = +∞ ; lim
x y
→+∞ = -∞
0.25
Chiều biến thiên: y’ = −x2 +4x – 3 , y’ = 0 ⇔x= 1, x=3
Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 1) và (3; +∞)
0.25 0.25
Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ⇒yct = − 4
3 Hàm số đạt cực đại tại x =3 ⇒ycđ = 0
Bảng biến thiên
0.25
0.25
x
y′
y
3 0
+ ∞
0
–
4 3
−
0 + ∞
– ∞
Trang 3Graph Limited School Edition
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
O
2.(1 điểm)
Ta có 3 6 2 9 3 0 1 3 2 2 3
3
− + − − = ⇔ − + − = Đặt ( ) 1 3 2
2 3 3
y = m (d)
Vậy để phương trình − +x3 6x2−9x−3m=0có 3 nghiệm phân biệt khi 4 0
3 m
− < <
0.25
0.25 0.5
2 (3 đ) 1.(1 điểm)
( )
−
−
−
÷
0.75
0.75
( )− ( )− −
5 5
2
log 2 2log 2 log 2
3) (1 điểm)
Xét trên đoạn [ ]2; 4 ; hàm số đã cho có: ( ) 2
9 ' 1
f x
x
= − ;
f x'( ) =0⇔ =x 3
0.25 0.25 ( )2 13
2
4
f = 0.25
Kết luận
[ ]2;4ax ( ) 13
2
m f x = ; min[ ]2;4 f x( ) =6 0.25
Trang 4(1đ)
a.Gọi H là chân đường cao của hình chóp, xác định góc giữa đương thăng và mặt phẳng
la góc SAH=SBH=SCH=SDH= 0
45
0.25
Tính diện tích đáy 2
4
Tính thể tích 1 1 2 4 3
S
A D
B C
0.25
b Ta có tam giác SHB vuông cân nên HS=HB (1) 0.25
Mặt khác: HA=HB=HC=HD (2)
0.25
TỪ (1) VÀ (2) suy ra H là tâm mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABCD
0.25
4a
(1 đ) PTHĐGĐ của ( )C và D là: ( 1) 2 0 0
1
0.5
x0= Þ0 y0=0
f x¢( )0 =f¢(0)=1
0.25
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y- 0 1(= x- 0)Û y=x 0.25
H
450
Trang 5(2đ) a) log2(x−3)+log2(x−1) =3 (1)
(1) ⇔ log2(x−3) (x−1)=log 82 0.25 ⇔ (x-3)(x-1) = 8 ⇔x2 −4x – 5 = 0 ⇔ x= −1 (loại) , x = 5
.Vậy phương trình có nghiệm : x =5
0.5
2
2x 3x 1 0
1
1
2 x
4b
• Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại B là :
2
1 ) 1 (
' − =−
= y
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại B là :
y=-2
1 (x+1)=
2
1 2
1 −
5b
(1 đ) 1) ' ( 1)
' x ( 1) x ( 1) x x
Xét phương trình:
1
x+ = (*) Û x=kx x( +1)
1 (2)
x
é = ê
0.5
d:y=kx cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2
nghiệm phân biệt Û phương trình (2) có duy nhất nghiệm khác 0, tức là
ï - ¹ ï ¹
0.25