có MN vuông góc với NPQ.. ∆NPQ vuông cân tại P.. Tính thể tích khối chóp M.NPQ theo a.. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp M.NPQ II.. Theo chương trình chuẩn.. Theo chương trìn
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I
Năm học: 2012-2013 Môn thi: TOÁN - Lớp 12
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Đề gồm có 01 trang)
Đơn vị ra đề: THPT NGUYỄN TRÃI
I PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I ( 3 điểm) Cho hàm số y x = 3− 3x2 + 2 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm m để phương trình − + x3 3x2 + = m 0 có 3 nghiệm phân biệt
Câu II ( 2 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức:
3
2
A
+
=
-2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số y= f x( ) =x2−ln 1 2( − x) trên đoạn [−1;0]
Câu III ( 2 điểm) Cho hình chóp M NPQ có MN vuông góc với (NPQ) ∆NPQ vuông
cân tại P Cho NQ a= 2, góc giữa MP và (NPQ) bằng 60°
1 Tính thể tích khối chóp M.NPQ theo a
2 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp M.NPQ
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Học sinh chọn IVa và Va hay IVb và Vb )
A Theo chương trình chuẩn
Câu IVa ( 1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
1
x y x
=
− biết rằng hệ số
góc của tiếp tuyến bằng 2−
Câu Va ( 2 điểm)
1 Giải phương trình: 6x−61−x − =5 0
2 Giải bất phương trình: 1 ( ) 1 ( )
log 2x− >1 log x+ −2 1
B Theo chương trình nâng cao
Câu IVb ( 1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
1
x y x
−
=
− biết rằng
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆:y=4x−1.
Câu Vb ( 2 điểm)
1 Cho hàm số y e= sin x Chứng minh rằng: y'cosx y− sinx y− =' 0' .
2 Tìm tham số m để hai đồ thị hàm số (C): 2 2 2 3
3
y
x
=
− và (d): y x m= + cắt nhau
tại hai điểm phân biệt
Trang 2KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I
Năm học: 2012-2013
Môn thi: TOÁN – Lớp 12
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Đơn vị ra đề: THPT NGUYỄN TRÃI
Câu I
(3,0 đ) 1 KS sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y x = − 3x + 2 2,0
b) Sự biến thiên:
*Chiều biến thiên: y/ = 3x2 – 6x , cho y/ = 0 ⇔ x=0,x=2
x - ∞ 0 2 +∞
y/ + 0 - 0 + +Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và (2;+∞)
+Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
0,50
*Cực trị:
+Hàm số đạt cực đại tại x= 0 và y CÐ = y(0) 2=
+Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và y CT =y(2)= −2
0,25
*Giới hạn: xlim→−∞y= −∞; xlim→+∞y= +∞ 0,25
c) Đồ thị:
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-1
1
0,50
2 Tìm m để pt: − + x3 3x2 + = m 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt 1,0
⇔ x3 – 3x2 + 2 = m + 2
(1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng d: y = m+2 cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt
0,25 0,25
x - ∞ 0 2 +∞
y/ + 0 - 0 + y
-∞ 2 -2 +∞
Trang 3Q N
M
⇔-2 < m + 2 < 2 ⇔ - 4 < m < 0 0,50
Câu II
(2,0 đ) 1 Tính giá trị biểu thức
3
2
A
+
=
-1,0
2 log 3 log 3
4 = 2 ÷ =9; 7
2 2 7
log 4 log 4
49 =7 ÷ =4 =16
+ 2log 16 2.log 22 = 2 4 =8; 3 3
3 log 27 log 3= =3 + ĐS: A=5 1
5=
0,5 0,25 0,25
2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số ( ) 2 ( )
ln 1 2
y= f x =x − − x trên [−1;0] 1,0
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [−1;0]
Ta có : /( ) 1
2
1 2
x
−
Cho /( )
1( ) 2
2
=
Vậy : max[ 1;0] f x( ) 4 ln 5
− = − tại x= −2 ;
4
f x
2
x=−
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu III
(2,0 đ) Cho hình chóp
M NPQ có MN vuông góc với (NPQ) ∆NPQ vuông
cân tại P Cho NQ a= 2, góc giữa MP và (NPQ) bằng 60°
NP là hình chiếu vuông góc của MP lên ( NPQ )
Suy ra: ·MP NPQ;( ) = MP NP· ; =MPN· =60o
· ∆NPQ vuông cân tại P vàNQ =a 2, nên
NP PQ a= =
Suy ra
2
1
NPQ
a
SD = NP PQ =
· Xét ∆MNP vuông tại N , ta có:
t an 60 3
MN =NP o =a
.
M NPQ NPQ
0,25
0,25
0,25 0,25
2 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp M.NPQ 1,0
· Gọi I là trung điểm của MQ
· Tam giác MNQ vuông tại N, nên IM =IN =IQ
· Tam giác MPQ vuông tại P nên IM=IP=IQ
· Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
0,25 0,25
Trang 4· Bán kính mặt cầu: 2 2 5
· Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp: 4 3 20 5 3
0,25
0,25
Câu
IVa
(1,0 đ)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
1
x y x
=
− biết rằng hệ
số góc của tiếp tuyến bằng 2− .
1,0
Ta có
2 1
y x
−
′ =
− Gọi (x y là tọa độ tiếp điểm.0; 0)
Hệ số góc tiếp tuyến tại (x y là 0; 0) y x′( )0 = −2 ⇔
0
2
2 1
x
−
0 1 1
x
• Với x0 =2, ta có y0 =4 Phương trình tiếp tuyến tại ( )2;4 là
y= − x− + hay y= − +2x 8.
• Với x0 =0, ta có y0 =0 Phương trình tiếp tuyến tại ( )0;0 là
y= − x− + hay y= −2x.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Va
(2,0 đ) 1 Giải phương trình:
1
Ta có 6x −61−x− =5 0 6 6 5 0
6
x x
• Đặt t =6x, (t >0) ta có phương trình t 6.1 5 0
t
6( )
t t
= −
• Với t =6, ta có 6x = ⇔ =6 x 1
0,25
0,25 0,25 0,25
2 Giải bất phương trình: 1 ( ) 1 ( )
• Đ/kiện xác định: 2 1 0 1
x
x x
− >
+ >
log 2x 1 log 3x 6
⇔ 2x− <1 3x+6 ⇔ − <7 x
So điều kiện ta được tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1;
2
T = +∞
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu
IVb Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=3x x−12
− biết rằng
1,0
Trang 5(1,0 đ) tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng ∆:y=4x−1.
Ta cĩ: ' 1 2
( 1)
y x
−
=
− TT vuơng gĩc với ∆:y=4x− ⇒1 TT cĩ hệ số gĩc
1 4
0) 1 '(
4
0 (x −1) =4 ⇔ x0 =3,x0 = −1
7 3
2
y
x = ⇒ = PTTT là: 17
x
y=− +
5 1
2
x
y= − +
Câu Vb
(2,0 đ) 1 Cho hàm số y e= sin x Chứng minh rằng: y'cosx y− sinx y− =' 0' 1,0
sin cos
2 sin sin '' cos x sin x
2 sin sin 2 sin sin
0
VP
= =
0,25 0,25 0,25 0,25
2 Tìm tham số m để hai đồ thị hàm số (C):
2
3
y
x
=
− và (d):
y x m= + cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1,0
Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 2 2 3
3
x m x
−
2
3
2x 2x 3 (x m x)( 3)
x≠
⇔
3
2x 2x 3 (x m x)( 3)
x≠
⇔
2
3 (1 ) 3( 1) 0, (*)
x
≠
⇔
Kiểm tra được x=3 khơng phải là nghiệm của (*) với mọi m Do đĩ số nghiệm của (*) là số giao điểm của hai ĐTHS đã cho Như vậy ta cần tìm
m để (*) cĩ hai nghiệm, nghĩa là
0,25
0,25
0,5