Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.. Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng P.. Viết
Trang 1ĐỀ THI THỬ TNTHPT NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút
I PHẦN CHUNG CHO CẢ THÍ SINH( 7 điểm )
Câu I( 3 điểm )
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0
Câu II ( 3 điểm )
1 Giải phương trình 3.4x - 4.2x – 1 = 0
2 Tính tích phân I =2
0
1 2sin xcoxdx
π +
∫
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên đoạn
6
7
; 6
π π
Câu III ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó ( phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu IVa: ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 2, 3, -1) và mặt phẳng (P): x – 2y + z – 5 = 0
1 Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P)
2 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
Câu Va: ( 1 điểm )Tìm môđun của số phức z, biết z2 + z + 1 = 0
2 Theo chương trình nâng cao:
Câu IVb: ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( - 1; 2; 3 ) và đường thẳng d có phương trình x = 2 + t; y = 1 + 2t; z = t
1 Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d
2 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với d
Câu Vb: ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình:
=
− +
+
= +
0 20
9 log 1 log
y x
y x
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
I
1
y’ = 3x2 – 6x y’ = 0 suy ra x = 0, x = 2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞); nghịch biến
trên khoảng (0; 2) Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = - 3
0,5
Giới hạn: limyx→−∞ = - ∞;
x +
limy
Bảng biến thiên
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y 1 + ∞
-3
-∞
0,5
2
x3 – 3x2 + m = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 1 = 1 – m
Do đó, số nghiệm của phương trình bằng với số giao điểm của đồ thị (C) y = x3 – 3x2 + 1 và đường thẳng y = 1 – m
0,5
- Nếu 1 – m < - 3 hoặc 1 – m > 1 ⇔ m > 4 hoặc m < 0, thì phương
trình có 1 nghiệm
- Nếu 1 – m = - 3 hoặc 1 – m = 1 ⇔ m = 4 hoặc m = 0, thì phương
trình có 2 nghiệm
-Nếu – 3 < 1 – m < 1 ⇔ 0 < m < 4, thì phương trình có 3 nghiệm.
0,5
II
1
Đặt t = 2x > 0 Phương trình trở thành 3t2 – 4t – 1 = 0 0,25
t =
3
7
2− < 0 ( loại); t =
3
7
2x =
3
7
3
7 2
2
Tính tích phân I =
0
1 2sin xcoxdx
π +
Đặt t 1+2sinx ⇒ t2 = 1 + 2sinx⇒tdt = cosxdx 0,25
x = 0 ⇒ t = 1; x =
2
I = ∫3
0
2dt
3
0
3
3
t
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên đoạn 1,0
Trang 3
6
7
; 6
π π
y’ = 0 ⇒ x = π π
2 +k
Do x ∈ 6
7
; 6
π
x =
2 π
0,25
y(
6
π
) = sin
6
π
= ½ y(
2
π
) = sin
2
π
= 1
y(
6
7π
) = - 1/2
0,25
1 2
2 / 1 ) 6
7 (
6
7
; 6
6
7
; 6
=
=
−
=
=
π π
π π
π π
y
y
Max
III
Thể tích của khối tứ diện SACD là VSACD =
2
1 3
1
=
6
3
3
Gọi M là trung điểm của SD Ta có OM // SB nên góc (SB, AC)
= (OM,OC)
Tam giác vuông SAB có SB = SA2 + AB2 = 3a a +a2 =2a
Nên OM = a Tương tự SD = 2a suy ra MD = a suy ra CM = a 2
0,25
Xét tam giác OMC, ta có Cos O =
OC OM
NC OC
OM
2
2 2
4
2
− ⇒COS(SB, AC) =
4 2
0,25
IVa
1
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt
d đi qua A(2; 3; -1) vuông góc với (P) nên có VTCP là n P =(1;−2;1) 0,5
PTTS của d là:
+
−
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
1
2 3
2
0,5
2 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) 1,0 Gọi H là giao điểm của d và (P) Tọa độ điểm H là nghiệm (x, y, z)
của hệ phương trình:
0,25
Trang 4
=
− +
−
+
−
=
−
=
+
=
0 5 2
1
2 3 2
z y x
t z
t y
t x
⇒6t – 10 = 0 ⇒t = 5/3
⇒
=
−
=
=
3 2 3 1 3 11
z y
x
⇒ H(11/3; -1/3; 2/3)
0,25
A’ đối xứng với A qua (P) ⇒ H là trung điểm của AA’ 0,25
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
3
7 2
3
11 2
3
16 2
' ' '
A H A
A H A
A H A
z z z
y y y
x x
Va
z2 + z + 1 = 0 ⇔ z = z1 = i
2
3 2
1−
− ; z = z2 =
i
2
3 2
1+
1 4
3 4
=
IVb
1
Gọi (P) là mp đi qua A và vuông góc với d Gọi H là giao điểm của (P) và d, ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên d 0,25
Mp (P) có VTPT là v= ( 1; 2; 1) PTmp (P): x + 2y + z – 6 = 0 0,25 Tọa độ điểm H là nghiệm (x, y, z) của hpt
=
− + +
=
+
=
+
=
0 6 2
2 1 2
z y x
t z
t y
t x
⇒
0,25
=
=
=
=
3 1 3 5 3 7 3 1
z y x t
⇒ H( 7/3; 5/ 3; 1/3)
2 R là bán kính của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d ta có
R = AH =
3
165 3
3
1 2
3
5 1
3
− +
− +
+
0,5
PT mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 =
3
Trang 5
=
− +
+
= +
0 20
9 log 1 log
y x
y
Hpt tương đương ( )
= +
= 20
36 log
y x
= +
=
⇔
20
36
y x
=
=
⇔
18
2
y
x
hoặc
=
= 2
18
y