Dựng các đường thẳng Bx, Cy ⊥P a Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy, biết BC=2a b L là một điểm di động trên Bx, L phải ở những vị trí nào để trên Cy c
Trang 1SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12
MÔN : TOÁN
Thời gian: 180 phút
ĐỀ:
Câu 1: (3điểm)
os sin 1
Câu 2: (3điểm)
Tìm các cặp số (x;y) thỏa phương trình:
sin os
8 x 8c x 10 os2y
c
Câu 3: (3điểm)
Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có:
os2A+cos2B-cos2C
f =c đạt giá trị lớn nhất
Câu 4: (4điểm)
Giải hệ phương trình:
(1 4 ).5 1 2 (1)
4 1 ln( 2 ) 0 (2)
Câu 5: (3điểm)
Chứng minh:
2 3
!
n
n n
với n∈N, n≥3
Câu 6: (4điểm)
Trong mặt phẳng (P), cho ∆ABC, Aˆ=90 ,o Cˆ =60o Dựng các đường thẳng Bx, Cy
⊥(P)
a) Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy, biết BC=2a b) L là một điểm di động trên Bx, L phải ở những vị trí nào để trên Cy có thể tìm được N sao cho ∆BLN vuông tại N?
c) Trong các vị trí của L ở câu b, hãy xác định vị trí sao cho hình chóp ABLNC có thể tích nhỏ nhất
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN:
os sin 1 os sin os sin
os (1 os ) sin (1 sin ) 0
os (1 os ) 0 sin (1 sin ) 0
osx=0 cosx=1 sinx=0 sinx= 1
1
sinx=0 cosx=0 osx=1 sinx=0 cosx=0 sinx= 1 cosx=1 sinx= 1 2 2
c
x k
π
⇔
=
⇔
= +
0,5
Vậy nghiệm cuả pt(1) là x k= 2π;
2
x= +π kπ
2
2
sin os
sin 1 sin
sin
8 8 10 os2y
8 8 9 1 os2y
8
8
x
x
c c
−
0,5
Đặt t =8sin 2x,1≤ ≤t 8
(*) trở thành
2
2
1
9 2 os ( 1)( 8)
2 os (2)
t
t
+ − =
1
Vì1≤ ≤t 8 nên VT≤0,VP≥0
( 1)( 8) 0 (2)
osy=0
1 8 sinx=0 sinx= 1
c
⇔
1
2 2
k x
π
⇔
= +
, k∈Z
0,5
Trang 32 2 2
os2A+cos2B-cos2C
2 os osC.cos(A-B)+ os ( ) 1 os ( )
=
1
2
2
2 osC+ os(A-B) sin ( )
Suy ra f≤ 3
2
0,5
Maxf=3
2
sin( ) 0 1
osC+ os(A-B)=0 2
A B
⇔
0,5
1 30 ;0 1200
osC=-2
A B
c
=
1
(1) (1 4 ).5 1 2
5 ( ) ( ) 1 2.2 (3)
0,5
Đặt ( ) 5 ( )1 ( ) , ( ) 1 2.24
Ta có f(t) là hàm giảm, g(t) là hàm số tăng và f(t)=g(t)
Do đó (3)⇔ = ⇔t 1 2x y− =1
1
2 1
2 3 ln( 1) 0
= +
0,5
Đặt
2
( ) 2 3 ln( 1)
Suy ra h(y) là hàm tăng và h(-1)=0
1
0,5
Lấy đạo hàm 2 vế:
(1 )n 2 3 n n
Cho x=1, ta có:
1
2 3
2
n n
n
−
−
1,5
Chứng minh 2n-1<n!, n∈N, n≥3 (2) bằng phương pháp qui nạp
+ Kiểm tra (2) đúng khi n=3
+ Giả sử (2) đúng khi n=k>3,k ∈N, tức là ta có: 2k-1<k!
Ta chứng minh (2) đúng khi n=k+1, ta chứng minh: 2k<(k+1)!
Vì 2<3≤k<k+1 nên:2k=2.2k-1<2.k!<(k+1)k!=(k+1)!
1
Trang 4Suy ra điều phải chứng minh
B
A
C
L
N
H M1
M2
Câu a
Mặt cầu đường kính BM tiếp xúcCy khi và chỉ khi d(Bx,Cy)=BC= 2
2
BM
a
=
Vậy BM=4a Có 2 điểm M1, M2 trên đường Bx thỏa mãn điều kiện này
1
Câu b
Muốn có điểm N để
2
BNL∧ =π , thì mặt cầu đường kính BL phải cắt Cy Suy
ra BL≥4a, khi đó L phải nằm ngoài (M1,M2).Nếu L nằm ngoài đoạn
[M1,M2], thì với mỗi điểm L trên Bx có 2 điểm N1,N2 thuộc Cy sao cho
2
BN L BN L∧ = ∧ =π
1
Câu c Đặt BL=y, CN=x Do tam giác BNL vuông tại N nên BL2=BN2+NL2
2 2
4
(1)
x
+
=
1
Hạ đường cao AH của tam giác ABC AH cũng là đường cao của hình chóp
ABLNC và AH =a 3, đáy BLNC là hình thang vuông nên:
min
3
ABLNC
x
x
+
Giá trị y=BL=3a 2>4a, nên chấp nhận được
1