Dễ thấy tứ giác CEHK nội tiếp.. Do đó KH luôn đi qua G suy ra đường thẳng vuông góc với HK tại K luôn qua I cố định ĐPCM.. Xét 3 đường tròn: đường tròn ngoại tiếp tứ giác HFGQ, đường tr
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
TỔ TOÁN – TIN
ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ NGHỊ DHBB 2015
MÔN TOÁN 10 Câu 1
2
x y
+ Biến đổi (1) được: 4 xy 2 y 8 xy 2 y 4 x y 2
2 xy 2y 22 x y 2 y x 2
2
x
x x
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
2 7 2 7 1 2 7 1 2 6
x x
3 3 1 3 1 2
x x
Suy ra 2 7 3 3 8
2
x
x x Dấu ' ' xảy ra khi và chỉ khi x 4
Vậy nghiệm x y cần tìm là ; 4;2
Câu 2
a) Gọi I, G là điểm chính giữa cung lớn và cung nhỏ cung AB của đường tròn(O)
Dễ thấy tứ giác CEHK nội tiếp Do đó KH luôn đi qua G suy ra đường thẳng vuông góc với
HK tại K luôn qua I cố định (ĐPCM).
tiếp.
Xét 3 đường tròn: đường tròn ngoại tiếp tứ giác HFGQ, đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác CKHF, ta thấy 3 trục đẳng phương là CK, AB và GQ đồng quy tại tâm đẳng phương là P Do đó PQ luôn đi qua điểm cố định là G (ĐPCM).
Trang 2F O
C
P A
B H
E
G
I
K D
Q
Cõu 3
- Chứng minh có nghiệm.
Nếu P(x) có bậc chẵn thì limx(P(x).P( x)) P( 0 ) , tức là (*) sai
Do đó P(x) có bậc lẻ, dẫn đến P(x) có nghiệm.
- Chứng minh có nghiệm duy nhất.
Giả sử P(x) có hơn 1 nghiệm và a < b là 2 nghiệm bé nhất.
Không giảm tổng quát, có thể coi P(x) 0 , x (a;b) , vì P(x) thoả mãn (*) thì -P(x) cũng thoả mãn (*)
Khi đó tồn tại số c > b sao cho P(c) < 0 và P(x) 0 , x ( ;a)
2
c c -2a ( P 0 c).P(c)
-P(2a
0 P(c)
c a
Vậy giả sử trên sai, hay P(x) có nghiệm duy nhất.
Cõu 4
Trước hết khẳng định trong bộ số cần tỡm khụng cú mặt số 1.
- Nếu trong bộ số cú số a 5 thỡ bằng cỏch thay a bởi 2 số 2 và a 2 và giữ nguyờn cỏc số cũn lại ta được bộ số mới cú tổng khụng đổi mà tớch lớn hơn.
Trang 3- Nếu trong bộ số có từ 3 số 2 trở lên thì bằng cách thay 3 số (2, 2, 2) bởi 2
số (3, 3) và giữ nguyên các số còn lại ta cũng được bộ số mới có tổng không đổi mà tích lớn hơn.
- Lại thấy rằng, nếu trong bộ số có mặt đồng thời số 2 và 4 hay có từ 2 số 4 trở lên thì ta cũng thay thế được thành bộ số mới “tốt hơn’’.
Vậy nên bây giờ ta chỉ xét các bộ số có tổng là 2015 mà hoặc gồm toàn số 3, hoặc chỉ có 1 số 4 và các số 3, hoặc có 1 số 2 và các số 3, hoặc có 2 số 2 và các số 3 Để ý rằng 2015 chia cho 3 dư 2 nên bộ số có được chỉ có thể là 1 số
2 và toàn số 3 Do đó bộ số cần tìm chính là 2 và 671 số 3.
Câu 5
Giả sử nhờ phép chuyển số theo quy tắc của đề bài, từ bảng 1 ta có thể nhận
được bảng 2.(*)
Ta coi ô trống của mỗi bảng là ô được điền số 0
Với mỗi bảng số nhận được trong quá trình chuyển số, ta liệt kê tất cả các số trong bảng theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới Khi đó, ứng với mỗi bảng số ta sẽ có một hoán vị của 30 số tự nhiên đầu tiên Và do
đó, từ giả thiết (*) cho thấy, từ hoán vị (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0,
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ) (gọi là hoán
vị I) ta có thể nhận được hoán vị (29, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, 13,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1 ) (gọi là hoán vị 2) nhờ việc thực hiện liên tiếp một số hữu hạn lần phép đổi chỗ các số hạng trong hoán vị theo quy tắc : Mỗi lần, lấy một số khác 0 của hoán vị rồi đổi vị trí của số hạng đó và 0 cho nhau (1)
cặp số (ai, aj) là cặp số ngược của hoán vị vừa nêu nếu ai > aj và i < j Dễ thấy, sau mỗi lần thực hiện phép đổi chỗ các số hạng theo quy tắc (1) đối với
một số lẻ đơn vị.(2)
Ta có số cặp số ngược của hoán vị I là 12, số cặp số ngược của hoán
vị II là 67 Từ đó kết hợp với (2) suy ra từ hoán vị I ta chỉ có thể nhận được hoán vị II sau 1 số lẻ lần thực hiện phép đổi chỗ các số hạng Điều này cho
Trang 4thấy, nếu từ bảng 1 ta nhận được bảng 2 thì số lần chuyển số phải là số lẻ (3)
Tô màu tất cả các ô vuông con của bảng 6 x 5 bởi 2 màu xanh, đỏ sao cho 2 ô kề nhau có 2 màu khác nhau Thế thì, sau mỗi lần chuyển số, số 0 sẽ được chuyển từ ô có màu này sang ô có màu kia Và vì thế, do số 0 ở bảng 1
và số 0 ở bảng 2 nằm ở hai ô có màu giống nhau nên từ bảng 1 chỉ có thể nhận được bảng 2 sau một số chẵn lần chuyển số Điều này mâu thuẫn với (3) Vậy từ bảng (1) ta không thể nhận được bảng 2 nhờ phép chuyển số theo quy tắc của đề bài