b Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại, cực tiểu của C, d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHÍ LINH
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn Thi : TOÁN
Lần thứ 3
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề gồm 01 trang
Câu 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2+2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại, cực tiểu của (C), d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB Tìm tọa độ giao điểm của d và (C)
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình cos 3sin 2 1
2sin 3cosx 4 2
x
z
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình (3+ 5)x+ −(3 5)x =3.2 x
Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 8x3−2x≥ +(4 x−1)(x+ +14 8 x−1)
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân
4
1
1 ( ) ln
x
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, SC tạo với đáy góc 0
60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai mặt phẳng
(SBC), (SCD)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có 10
5
BD= AC Biết rằng ( 2; 1)
M − − , N(2; 1)− lần lượt là hình chiếu của D xuống các đường thẳng AB, BC và đường thẳng
7 0
x− y= đi qua A , C Tìm tọa độ điểm A, C.
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;-4), B(5;3;-1) và mặt
phẳng ( ) :α x y z+ − − =6 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )α và tìm điểm M trên mặt phẳng ( )α sao cho tam giác ABM vuông cân tại M.
Câu 9 (0,5 điểm) Một lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên một nhóm 3
học sinh Tính xác suất để nhóm học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ
Câu 10 (1,0 điểm) Với a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( 2)( 2)( 2)
a b c
+ + .
………….………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:……….
Chữ kí giám thị 1:……….………… Chữ kí giám thị 2:………
Híng dÉn chÊm TOÁN
1.a)1,0đ a) y= − +x3 3x2+2
1 Tập xác định: D=¡
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cực của hàm số
3
x x
→+∞ = − + + = − + + = −∞ →−∞ = +∞
0,25
* Lập bảng biến thiên ' 3 2 6 ; ' 0 0 (0) 2
2 (2) 6
bảng biến thiên
2
0
∞
6 + ∞
+ ∞
2
- ∞
y y' x
0,25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+ ∞);
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2);Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 =>yct=2, Hàm số đạt cực đại tại
x=2=>ycđ=6
0.25
3 Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 2)
đồ thị hàm số nhận I(1;4) làm tâm đối xứng
0,25
1.b)1,0đ Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại, cực tiểu của (C), d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với 0,25
6
4
2
-2
y
x 2
1 O
f x ( ) = -x 3 +3 ⋅ x 2 +2
Trang 3AB Tìm tọa độ giao điểm của d và (C).
Điểm cực đại của (C) là A(2;6), điểm cực tiểu của (C) là B(0;2)
Hệ số góc của AB là 6 2 2
2 0
AB
y k
x
∆ − d đi qua A vuông góc với AB có phương trình là 1
: y ( 2) 6 2
d = − x− +
Hoành độ giao điểm của d và (C) nghiệm phương trình 3 3 2 2 1( 2) 6
2
2
2 ( 2)(2 2 5) 0 1 11
2
x
x
=
=
0,25
1 11 27 11 1 11 27 11
2.a)0,5đ Giải phương trình cos 3sin 2 1 (1)
2sin 3cosx 4 2
x
2 + −( 3) = <13 16 4= ⇒2sinx−3cosx 4= vô nghiệm nên2sinx−3cosx 4 0− ≠ ∀x
0,25
2.b)0,5đ Tìm phần ảo của số phức z, biết
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
z
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 )
z
z
0,25
100
i
−
+ vậy phần ảo của z là 1 150
2
b= − −
0,25
⇔ ÷ ÷ + ÷÷ =
Đặt 3 5 ( 0) 3 5 1
t
= ÷÷ > ⇒ ÷÷ =
Thay vào (*) ta có 1 2 3 5
2
t
± + = ⇔ − + = ⇔ = (thỏa mãn)
0,25
x
= ÷ ÷ ⇒ ÷÷ = ⇔ =
Với
1
1
x
−
= ÷ ÷ ⇒ ÷ ÷ = ÷÷ ⇔ = −
0,25
Trang 44.1,0đ Giải bất phương trình 8x3−2x≥ +(4 x−1)(x+ +14 8 x−1)(1)
Điều kiện : x≥1
(1)⇔8x −2x≥ +(4 x−1)(x− +1 8 x− + − ⇔1 16 1) 8x −2x≥ +(4 x−1) − +(4 x−1) (2)
0,25
Xét hàm số f t( )= −t3 t f t; '( ) 3= t2− > ∀ ≥ ⇒1 0 t 1 f(t) đồng biến trên [1;+∞ ) mà (2) có
(2 ) (4 1)
f x ≥ f + x− và 2 , 4x + x− ∈ +∞1 [1; ) nên (2)⇔2x≥ +4 x−1
0,25
2
2 4 0
1 0
x
x
− ≥
− ≥
0,25
2
2
x x
x
≥
≥
0,25
5.1,0đ
Tính tích phân
4
2
ln ln (ln ) 2ln 2
2
x
Đặt ln
2
3
dx dU
=
=
0,25
2
28 32ln 2
2 ln 2
I
6.1,0đ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy
góc 0
60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD)
SA⊥(ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên
(ABCD) nên
(SC ABCD, ( )) (= SC AC, )=SCA=60
0,25
a
60 0
K
H
D
C B
A S
Trang 50 2; tan 60 6
AC a= SA AC= =a
Thể tích S.ABCD là
3 2
S ABCD ABCD
a
0,25
Kẻ AH⊥SB(H∈ SB)
Do SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BC, BC ⊥ AB⇒BC⊥ (SAB) ⇒BC⊥ AH, AH ⊥SB⇒AH ⊥ (SBC)(1)
Tương tự kẻ AK⊥SD(H∈ SD) ⇒AK ⊥(SCD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ góc giữa giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) bằng góc giữa AH và AK
0,25
Trong tam giác vuông SAB ta có
2
2
7 7
SB SA AB a AH SB SA AB AH
SB SB
Tương tự
7
·
2
6 72
7 47 cos
6
7
HAK
a
AH AK
−
⇒ góc giữa giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) bằng góc giữa AH và AK bằng ·HAK bằng 1
arccos
7
0,25
7.1,0đ Trong hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành
ABCD có 10
5
BD= AC Biết rằng M(-2;-1), N(2;-1) lần lượt là hình chiếu của D xuống các đường thẳng AB, BC và đường thẳng x−7y=0 đi qua A , C Tìm tọa độ điểm A, C
Gọi I là giao điểm của AC và BD⇒I(7y;y)
Do tam giác BDM và BDN vuông tại M, N nên
(7 2) ( 1) (7 2) ( 1) 0 (0;0) 2
DB
IM =IN = ⇔ y− + +y = y+ + +y ⇔ = ⇒y I
0,25
10
AC
Tọa độ A, C thỏa mãn hệ phương trình 2 2
7 0 25 2
x y
x y
+ =
0,25
I x-7y=0
N(2;-1) M(-2;-1)
C
B A
D
Trang 67 2 1 2
x
y
=
=
hoặc
7 2 1 2
x
y
= −
= −
Vậy tọa độ 2 điểm ( 7; 1),C( ; )7 1
2 2 2 2
A − − hoặc ( ; ),C(7 1 7; 1)
2 2 2 2
0,25
8.1,0đ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;-4), B(5;3;-1) và mặt phẳng
( ) :α x y z+ − − =6 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )α và tìm
điểm M trên mặt phẳng ( )α sao cho tam giác ABM vuông cân tại M.
Gọi mặt cầu (S) tâm A bán kính R tiếp xúc mặt phẳng ( )α ⇔d(I,( ) Rα =
0,25
2 3 4 6
3
1 1 ( 1)
+ + − phương trình (S):( ) (2 ) (2 )2
( ) ( ; ; 6)
M∈ α ⇒M x y x y+ − sao cho tam giác ABM vuông cân tại M
MA MB
MA MB
MA MB MA MB
=
0,25
2
(2 ) (3 ) (2 ) (5 ) (3 ) (5 ) 7 2
2; 3 (2 )(5 ) (3 ) (2 )(5 ) 0
Vậy M(2;3;-1) hoặc M(3;1;-2)
0,25
9.1,0đ Một lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên một nhóm 3 học sinh Tính
xác suất để nhóm học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ
Số học sinh trong lớp học là 25+15=40
Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40 nên không gian mẫu Ω
gồm các tổ hợp chập 3 của 40 3
40 ( )
⇒ Ω =
0,25
Gọi A:” chọn được nhóm 3 học sinh có ít nhất 1 học sinh nữ” ⇒A:” chọn được nhóm 3 học sinh nam”
Số cách chọn 3 học sinh nam trong 25 học sinh nam là số tổ hợp chập 3 của 25 3
25 (A)
3 25 3 40
C
n A
Ω
0,25
10.1,0đ Với a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( 2)( 2)( 2)
a b c
+ + .
do a,b,c> 0 nên luôn tồn tại ít nhất 2 trong 3 số đồng thời không lớn hơn 1 hoặc không nhỏ hơn 1 giả sử b,c≤1 hoặc b,c≥1
(b 1)(c 1) 0 (b 2 3)(c 2 3) 0 (b 2)(c 2) 3(b c 1) (1)
0,25
mặt khác (a b c+ + )2 ≤(a2+ +12 1 )(12 2+ +b2 c2) (2)
từ (1) và (2)⇒(a2+2)(b2 +2)(c2+ ≥2) 3(a b c+ + )2
0,25
0,25
Khi a b c= = =1 thì P=324 nên giá trị nhỏ nhất của P là 324 0,25
