Hai người bạn ngẫu nhiên đi chung một chuyến tầu có 5 toa.. Tính xác suất để hai người bạn đó ngồi cùng một toa.. Tính thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ điểm I đến mpSCD...
Trang 1Sở GD & ĐT Hải Phòng
Trường THPT Lê Qúy Đôn
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thang điểm 20
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN K12
NĂM HỌC 2014 - 2015
Thời gian làm bài 180 phút,khôngkể thời gian giao đề
Ngày thi: 15/01/2015
Câu 1 (5.0 điểm) Cho hàm số y = x3− 3 mx2 + 2 , có đồ thị là (Cm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1, tìm giá trị
tham số m để tiếp tuyến ∆ đi qua điểm A(2; 2015)
Câu 2 (2.0 điểm) Giải phương trình: cos10 x = 2cos 4 sin x x − cos 2 , x ( x ∈ ¡ )
Câu 3 (4.0 điểm)
a Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y x
+ +
= + trên khoảng ( − +∞ 1; ) .
b Giải bất phương trình:
2
2 2 3 1
1
x x
+ +
Câu 4 (2.0 điểm).
a Hai người bạn ngẫu nhiên đi chung một chuyến tầu có 5 toa Tính xác suất để hai người bạn đó ngồi cùng một toa.
0 1
n
p x = − x = + a a x + + a x n ∈ ¥ Biết hệ số a1= − 30 Tính hệ số a 2
Câu 5 (2.0 điểm) Trong hệ toạ độ oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm A(2; 1), điểm
C(6; 7) và M(3; 2) là điểm thuộc miền trong hình bình hành Viết phương trình cạnh AD biết khoảng cách từ M đến CD bằng 5 lần khoảng cách từ M đến AB và đỉnh D thuộc đường thẳng : x y 11 0
Câu 6 (3.0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · BA D 60 = 0 Hình chiếu của S lên mp(ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa SD và đáy bằng 600, I là điểm thuộc đoạn BD, DI = 3IB Tính thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ điểm
I đến mp(SCD).
2
Câu 8 (1.0 điểm)
Cho x, y là các số thực thuộc ( ) 0;1 thoả mãn ( x3 y3) ( x y ) ( ) ( )
1 x 1 y xy
= − − Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P 1 2 1 2 4xy x2 y2
HẾT
Trang 2Câu Đáp án chính thức (Đáp án có 04 trang) Đ Câu I
5.0
điểm
a ( 3.0 điểm )…
TXĐ : D = R
2
x x
=
=
Bảng biến thiên :
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y 2 +
∞
-∞ - 2
0,25 0.25
Đồ thị giao với oy tại điểm (0; 2), giao với ox tại điểm (2; -2)
Vẽ đúng đồ thị Nếu thí sinh không tìm giao Trên đồ thị vẫn thể hiện đúng tọa độ điểm giao vẫn cho
điểm
0.25 0.25
b (2.0 điểm)…
Với x = 1 => y = 3 – 6m Tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là M(1; 3 – 3m)
Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (Cm) cần tìm là ∆: y = (3 – 6m)(x - 1) + 3 – 3m = (3 - 6m)x + 3m 0.25
2009
9
Câu 2
2.0
Điểm
2.0 điểm…
cos10x=2cos 4 sinx x−cos 2x⇔cos10x+cos 2x=2cos 4 sinx x⇔2cos 6 cos 4x x=2cos 4 sinx x 0.25
cos 4 0
x
=
0.25
k
x= ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π π
0.25
cos 6 cos
2
0.25
2
2 2
k x
k x
= +
S=π + π −π + π x= +π π k∈
Câu 3
4.0
Điểm
a (2.0 điểm)…
Ta xét
2 '
2
1
x
x
=
lim
Trang 3Bảng biến thiên
x -1 1 +∞ y’ - 0 +
∞ +∞ 3
0,25 0,25
0.25
b (2.0 điểm)….
Theo câu a ta có:
1
x x
+ + ≥ ∀ > −
0.5
0.25
1
x x
+ + ta được:
2
1
x
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
2
2 2 3 1
1
x x
+
Câu 4
2.0 a (1.0 điểm) …Giả sử các toa được đánh số từ 1 đến 5
Giả sử m, n lần lượt là số toa người bạn thứ nhất và thứ 2 lần lượt lên tầu m = 1,2,3,4,5 n = 1,2,3,4,5 0,25
Gọi A là biến cố “ Hai người cùng lên một toa” ⇒ =A { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;1 , 2; 2 , 3;3 , 4; 4 , 5;5} ⇒n A( ) =5 0,25 Vậy xác suất của biến cố A là p A( ) n A( ) ( ) 255 15
n
Ω
Chú ý: Hoc sinh có thể dùng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để tính số phần tử không gian mẫu, số phần tử của biến cố A Nếu lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.
0.25
b (1.0 điểm)….
0
k
=
Câu 5
2.0
Điểm
(2.0 điểm)
x + y -11 = 0
E
H
N
B
A(2; 1)
M(3; 2)
Kéo dài AM cắt CD tại N Gọi E, H lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CD
7
N N
y y
=
0.25
Đường thẳng CD đi qua hai điểm C(6; 7), N(8; 7) nên CD có vtcp là urCD =CNuuur=( )2;0 ⇒CDcó vtpt là ( )0; 2
CD
0.25
Đỉnh D là giao điểm của CD và :∆ x y+ − =11 0 nên tọa độ điểm D là nghiệm hệ phương trình:
0.25
Trang 4( )
4;7
D
AD đi qua hai điểm A, D nên AD có vtcp là ur=uuurAD=( )2;6 => AD có vtpt là nr=(3; 1− ) suy ra
Kiểm tra thấy thỏa mãn điểm M thuộc miền trong hình bình hành ABCD Vậy phương trình cạnh AD là 3x – y – 5 = 0
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác ra hai điểm D, không loại được một điểm thì trừ 0.5
0,25
Câu 6
3.0
Điểm
Tính thể tích 2.0 điểm…
H I
A
D
S
E
mp(ABCD) => (SD ABCD,( )) =SDH 60· = 0
0.25 0,25
Do ABCD là hình thoi cạnh a, ·BAD 60= 0 => tam giác ABD đều cạnh a => HD 3
2
a
.tan 60
2
a
Tính khoảng cách 1.0 điểm…
4
4
0.25 Gọi E là hình chiếu của H lên SD ⇒HE⊥(SCD)⇒d H SCD( ,( ) ) =HE
Câu 7
1.0
Điểm
1.0 điểm …
3
Xét phương trình pt(1): x y x x y+ + ( + ) = 2y+2y2 ⇔ x y+ − 2y+ −(x y x) ( +2y)=0
3
x≥ y≥ ⇒ x y+ + y>
0.25
−
Thay y = x vào phương trình x2+4y− + =3 1 3x− +2 y ta được
3
0 0
a b
a b
Trang 5Với b = 0, ta có 2
3
2
1
4
x
≥
≥
0.25 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S={ ( )2; 2 }
Câu 8
1.0
Điểm Ta có ( ) ( ) (x3 y3) (x y)
xy
0,25 1
9
xy
1
x y
xy
+
Thật vậy
( )* ⇔(2+x2+y2) (1+xy)≤2 1( +x2)(1+y2)⇔(x y− ) (2 1−xy)≥0 Luôn đúng vì x y, ∈( )0;1
1
xy
0.25
9 1
t
P≤ f =
÷
3
