b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 1.. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng các viên bi có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu
Trang 1SỞ GD & ĐT TUYÊN QUANG ĐỀ THI THỬ LẦN I
TRƯỜNG THPT ĐÔNG THỌ KỲ THI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN : TOÁN
( Đề thi có 01 trang) Thời gian : 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x= − 3 3x2 + 4 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt
Câu 2 ( 2,0 điểm) Giải các phương trình:
cos
2
sin
sin 2 2
sin
3
=
−
x x
x x
b) 9x − 3x+1+ = 2 0
Câu 3 ( 1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
f x = x − x − trên đoạn [ − 1;3 ]
Câu 4 ( 1,0 điểm) Tính tích phân
1
0
(x 2015) x
I = ∫ + e dx
Câu 5 ( 1,0 điểm) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng
(các viên bi có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu) Chọn ngẫu nhiên
4 viên bi từ hộp đó Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu
Câu 6 ( 1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A(2 ; 4 ; -1) , B(1 ; 4 ; 1) , C(2 ; 4 ; 1), D(2 ; 2 ; -1)
a)Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2 ; 4 ; -1) và đi qua điểm B(1 ; 4 ; 1) b) Tính góc giữa hai véc tơ uuur AB
và CD uuur
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B
và AB=4a, AC=5a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a Tính thể tích của khối chóp tam giác S.ABC theo a
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
, ( ,x y∈R)
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2SỞ GD & ĐT TUYÊN QUANG ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ LẦN I
TRƯỜNG THPT ĐÔNG THỌ KỲ THI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN : TOÁN
( Đáp án – thang điểm gồm 07 trang)
1
(2,0đ)
a) (1,0đ)
1/ Tập xác định: R
0,25
2/ Sự biến thiên
=
=
⇔
=
−
=
2
0 0
; 6
,
x
x y
x x y
0,25 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ ;0) và (2; +∞); hàm số nghịch biến
trên khoảng ( )0; 2
0,25
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ⇒ yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 ⇒ yCT = 0. 0,25
x y
x y
→+∞ = +∞
Bảng biến thiên
x − ∞ 0 2 + ∞ ,
y + 0 - 0 +
y 4 + ∞
∞
− 0
0,25
3/Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;4), cắt Ox tại điểm (2;0), (1;0); đi qua
x
y
3 2
4
-1
0,25
b) (0,5đ)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Trang 3Gọi M x y ( ; )0 0 là tiếp điểm, x0 = ⇒ 1 y0 = 2
, 3 2 6
y = x − x, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y,(1) = − 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − + 3 x 5
c) (0,5đ)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường
thẳng
y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 – 3x2 + 4 = mx – 2m 0,25
⇔
=
−
−
−
=
(*) 0 2
2
2 x m x
để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt khi
và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0,25 hay
≠
−
−
−
>
+
=
∆
0 2
2 2
0 4 9
≠
−
>
⇔
0 4 9
m
Vậy với m ∈ (
4
9
2
(2,0đ) a) (1,0đ)Giải phương trình: 3sinsin22 −.cos2sin = 2
x x
x x
ĐK: sin2x ≠ 0 =>
≠
≠
0 cos
0 sin
x
x
0,25 Phương trình trở thành :
2
2sin (3cos 1)
2 2sin cos
0,25
⇔3cos x − = 1 2cos2 x ( Do sin x ≠ 0) 0,25 ⇔ 2cos2 x − 3cos x + = 1 0
1 cos
2
x x
=
⇔
0,25
Trang 4*)⇔ π 2π
3 2
1 cosx= ⇒x=± +k (k∈Z) Vậy phương trình có nghiệm π 2π
0,25
b) (1,0đ) Giải phương trình: 9x − 3x+ 1+ = 2 0
Đặt 3x = t t ( > 0) phương trình đã cho trở thành :
2
t
t
=
0,25 0,25
Với t = 2, ta được x = log 23
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = log 23
0,25
3
(1,0đ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
f x = x − x − trên đoạn [ − 1;3 ]
Ta có f x'( ) 4 = x3 − 16 x;
'
x
x
= − ∉ −
= ∈ −
0, 5
Ta có :
( 1) 2022; (0) 2015; (2) 2031; (3) 2006
0,25
Vậy max ( )[ 1;3] f x 2006
[ 1;3]
min ( ) f x 2031
Trang 54
(1,0đ) Tính tích phân
1
0
(x 2015) x
I = ∫ + e dx
1
1
0
1
0
Tính
1
2 0
x
I = ∫ xe dx
dv e dx
=
du dx
v e
=
0,25
Do đó
1
0
1
I = xe − ∫ e dx e e = − = Vậy I = 2015 e − 2014
0,25
5
(1,0đ) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng (các viên bi có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu) Chọn ngẫu nhiên 4 viên
bi từ hộp đó Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu
Ta có số phần tử của không gian mẫu là: n ( ) Ω = C154 = 1365
Gọi A là biến cố “4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu”
Khi đó biến cố đối A là“4 viên bi chọn ra có đủ cả ba màu
0,25
TH1 : 4 viên được chọn có 2 bi đỏ, 1 bi xanh và 1 bi vàng
Suy ra số cách chọn là C C C42 .51 61
0,25
Trang 6TH2 : 4 viên được chọn có 1 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng
Suy ra số cách chọn là C C C41 .52 61
TH3 : 4 viên được chọn có 1 bi đỏ, 1 bi xanh và 2 bi vàng
Suy ra số cách chọn là C C C41 .51 62
n A
n
Ω
0,25
6
(1,0đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1) , B(1 ; 4 ; 1) , C(2 ; 4 ; 1), D(2 ; 2 ; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A(2 ; 4 ; -1) và đi qua điểm B(1 ; 4 ;
1)
b) Tính góc giữa hai véc tơ uuur AB
và CD uuur
a
(0,5đ)
Ta có bán kính của mặt cầu (S) là
R = uuur AB = − + + =
0,25
Vậy phương trình mặt cầu (S) là ( x − 2)2 + − (y 4)2 + + (z 1)2 = 5 0,25
b
(0,5đ) Ta có : uuur AB = − ( 1;0;2), CD uuur = (0; 2; 2) − − 0,25
Góc giữa hai véc tơ uuur AB
và CD uuur
Trang 72 2 2 2 2 2
cos( , )
.
10 ( 1) 0 2 0 ( 2) ( 2)
AB CD
AB CD
AB CD
uuuruuur uuur uuur
uuur uuur
7
(1,0đ)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB=4a,
AC=5a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a
Tính thể tích của khối chóp tam giác S.ABC theo a
0,25
Do SA⊥(ABC) nên SA là đường cao của khối chóp S.ABC
Trong tam giác vuông ABC
Ta có:
BC = AC2− AB2 = (5 )a 2 −(4 )a 2 =3a
0,25
2
ABC
Vậy thể tích của khối chóp tam giác S.ABC là
V =
3
1
SABC SA =6a (đvtt)3
0,25
Trang 88
(1,0đ) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
, ( ,x y∈R)
Nhận xét: hệ không có nghiệm dạng (x0 ;0)
Vớiy≠ 0, ta có:
2
2 2
2
1
4
1 4
.
x
x y y
x y xy y
x y
y
+ + + =
+ + + = ⇔
+ = + +
+
0,25
Đặt
2 1 ,
x
u v x y y
+
− = + − = = − =
0,25
+) Với v= 3,u= 1ta có hệ:
2, 5
x y
x y
= =
+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔
+ = = − = − = − =
Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5)
0,25
+) Với v= − 5,u= 9ta có hệ: 2 1 9 2 1 9 2 9 46 0
x y x y x x
+ = ⇔ + = ⇔ + + =
+ = − = − − = − −
Hệ này vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = −
0,25
Hết