Tìm a để phơng trình có nghiệm.. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I và cắt E tại hai điểm A, B sao cho I là trung điểm AB.. Tìm toạ độ điểm M∈E sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nh
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Bảng A Thời gian: 180 phút
Bài 1: (4 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
x 1
4 x 4 x
y
2
−
+
−
2 Tính tích phân:
∫
Π
+
=
01 cos2x
xdx sin x
Bài 2: (4 điểm)
Cho phơng trình: a x3 −1=x2 +2
1 Giải phơng trình khi a = 4
2 Tìm a để phơng trình có nghiệm
Bài 3: (4 điểm)
1 Giải phơng trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x
2 Chứng minh rằng ∆ABC đều nếu thoả mãn:
tgA + tgB + tgC =
2
C g cot 2
B g cot 2
A g
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giới hạn: x 1
2 x
3 x (
∞
Bài 5: (2 điểm)
Giải bất phơng trình: 2 2 2
) 1 x (
1 x 2 log 2 x 6 x 2
−
+
≥ +
Bài 5: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy
Cho elip (E) có phơng trình: 1
9
y 16
x2 2
= + ; điểm I(-1;-2) và đờng thẳng (d): x + y – 6 = 0
1 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho I là trung điểm AB
2 Tìm toạ độ điểm M∈(E) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất
Trang 2Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12
1 1 Tập xác định: R\{1}
Sự biến thiên:
−
+
) x 1 (
x 2 x
2
2
[xx 20,,yy( 0 ) 04
) 2 (
=
=
=
=
+, =+∞ =−∞
+
→
y
;
lim
1 x 1
x -> đờng thẳng x=1 là tiệm cận
đứng
+, =+∞ =−∞
∞ +
→
∞
−
→
y
;
lim
x x
= +
−
−
→
− + +
−
=
−
+
−
=
∞
→
)]
3 x ( y [ x
1
1 3 x x
1
4 x 4 x
x 2
−
∞
→ 1 x
1 lim
x
đờng thẳng y= - x+3 là tiệm cận xiên
Bảng biến thiên:
x -∞ 0 1 2 +∞
y - 0 + + 0
-y’ +∞ +∞
4
0
-∞ -∞
Đồ thị:
0.5
0.25
0.25
0.25
0.75
2 1
4 2 1 0
y
3
x
3
Trang 31 2
TÝnh: I = ∫π +
01 cos2x
xdx sin x
§Æt x=π−t
x 0 π
t π 0
dx = - dt
t cos 1
t sin dt
t cos 1
t sin ) t (
0
+ π
= +
− π
∫
π
dt t cos 1
t sin 2
I
π
=
→
§Æt u = cost -> du = - sintdt
t 0 π
u 1 -1
∫
− +
π
=
11 u2
du 2
I
§Æt u = tgv víi v )
2
; 2 (−π π
∈ , du = (1+tg2v)dv
u -1 1 v
-4
π
4
π
4
) 4 4
(
2
v 2
dv 2 I dv v
tg 1
dv ) v tg 1 ( u
1
du
2
4
4
4
4 2
2 2
π
=
π + π
π
=
=
π
=
π
=
→
= +
+
= +
π
π
π
π
∫
0.75
0.5
0.75
Trang 41
2
Điều kiện: x 1≥
Phơng trình đã cho tơng đơng với :
) 0 1 x x do ( ) 1 x x
1 x (
1 1 x x
1 x a
) 1 x ( ) 1 x x ( ) 1 x x )(
1 x
(
a
2 2
2 2
2 2
>
+ + +
+
−
−
= + +
−
⇔
−
− + +
= + +
−
đặt t =
1 x x
1 x
2 + +
− điều kiện
3
3 2 3 t
0≤ ≤ − +
phơng trình trở thành: f(t) = t2 + at – 1 = 0 (1)
Với a = 4 ta có: phơng trình (1) là: t2 + 4t – 1 = 0
[t 2 5 (loại)
] 3
3 2 3
; 0 [ 5
2 t
−
−
=
+
−
∈ +
−
=
⇔
Với t =- 2 + 5 ta có: t =
1 x x
1 x
2 + +
−
<=> t2x2 + t2x +t2 = x – 1 <=> t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + 1 = 0
1 x n
ã m
ả tho n ê nhi hiển t
2
1 t 6 t 3 t
1
2 4 2
≥ +
−
−
±
−
=
⇔
Vậy với a = 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm:
2 5 t với , t
2
1 t 6 t 3 t
1
2 4 2
2
,
⇔
Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình:
t2 + at – 1 = 0 (1) có nghiệm ] D
3
3 2 3
; 0 [
t∈ − + =
dễ thấy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn:
t1 < 0 < t2 , do đó phơng trình có nghiệm <=> t2 D∈
3 2 3
) 1 3 ( 2 a 0 ) 3
3 2 3 (
+
−
−
≥
⇔
≥ +
−
⇔
Vậy tập giá trị cần tìm của a là: +∞
+
−
2 2 3
) 1 3 ( 2
0.25
0.75
0.75
0.5 0.5
0.25
0.25 0.5 0.25
Trang 51
2
Điều kiện: cos2x ≠0; cosx≠0; sin3x ≠0
tgx – 3tg3x = 2tg2x
<=> tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x)
) x 3 sin
x 3 cos x
2 cos
x 2 sin ( 2 x 3 sin
x 3 cos x
cos
x sin
+
=
−
⇔
<=> - cos4x cos2x = 2 cos2x
<=> (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0
<=> cos32x =
-2
1
đối chiếu điều kiện: cosx≠0 <=> cos2x ≠0 <=>
0 2
x 2 cos
1+ ≠ <=> cos2x ≠-1
sin3x ≠0 <=> sinx(3 – 4sin2x) ≠0 <=> sin2x ≠0
sin2x ≠
4 3
{
2
1 x 2 cos
0 2
x 2 cos 1
4
3 2
x 2 cos 1
≠
−
≠
≠
−
≠
⇔
=> cos32x =
-2
1 (thoả mãn điều kiện)
<=> cos2x = - = α⇔ =±α +kπ
2 x cos
2
1
3
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
Z k , k 2
x=±α + π ∈ với
3 2
1 cosα=−
Vì tgA, tgB, tgC xác định nên ∆ABC không vuông
1 2
B g cot 2
A g cot
2
B g cot 2
A g
cot )
2
B 2
A ( tg 2
C
g
cot
tgC tgB tgA tgC
tgB tgA
tgC tgAtgB
1
tgB tgA
−
+
= +
=
= +
+
⇔
−
=
−
+
→
2
C g cot 2
B g cot 2
A g cot 2
C g cot 2
B g cot 2
A g
⇔
0.25
1
0.5
0.25
0.25
0.25
Trang 6-> giả thiết đề cho tơng tơng với:
tgA.tgB.tgC =
2
C g cot 2
B g cot 2
A g
∆ ABC nhọn -> tgA, tgB, tgC là các số dơng
ta có: tgA.tgB =
C cos ) B A cos(
C cos ) B A cos(
B cos A cos
B sin A sin
−
−
+
−
=
ta sẽ chứng minh đợc:
(*) C cos 1
C cos 1 C cos ) B A
cos(
C cos ) B A
cos(
−
+
≥
−
−
+
−
thật vậy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > 0
do đó (*) <-> cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C≥
cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C
<-> cosC cos(A-B) – cosC ≤0
<-> cos(A-B) – 1 0≤ luôn đúng (vì cosC > 0)
Vậy:
2
C g cot C cos 1
C cos 1 tgB
−
+
≥
tơng tự: tgA.tgC ≥
cotg22
B
tgB.tgC ≥
cotg2 2
A
2
C g cot 2
B g cot 2
A g cot tgC tgB
→
dấu “=” xảy ra khi: cos(A - B) = 1
cos(B - C) = 1 <=> A = B = C cos(C - A) = 1
Vậy nếu
2
C g cot 2
B g cot 2
A g cot tgC tgB
thì ∆ABC là tam giác đều
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
x
1 x
2 x
1 ( lim )
2 x
3 x
(
∞
→
+
∞
+
= +
+
đặt t = x + 2 ta có x→∞⇔t→∞
3 5
3 t t
1 x
) t
1 1 (
1 ] ) t
1 1 {[(
lim )
2 x
3 x
(
+
+
= +
+
∞
→
+
∞
→
0.25 0.25 1.5
Trang 72 2
2
) 1 x 2 (
1 x 2 log 2 x 6 x
2
−
+
≥ +
1 x 1 x
−
>
≠
) 2 log )
1 x (
1 x 2 log ) 1 x 2 ( ) 1 x
(
−
+
≥ +
−
−
⇔
1 x 2 ) 1 x 2 ( log ] ) 1 x ( 2 [ log )
1 x
(
2 − 2 + 2 − 2 ≥ 2 + + +
⇔
Xét hàm số: f(X) = X + log2X
0 x 0 2 ln X
1 1 ) X
(
f' = + > ∀ >
→
-> f(X) đồng biến trên R*+
đặt: X1=2x + 1
X2= 2(x-1)2 => X1, X2∈R*+ với { 2
1 x 1 x
−
>
≠
Khi đó bất phơng trình trở thành f(X2)≥f(X1) ⇔ X2 ≥X1
tức là: 2(x-1)2 ≥ 2x+1
⇔
≥ +
−
7 3 x 2
7 3 x
+
≥
−
≤
Vậy bất phơng trình đã cho có tập nghiệm là:
)
; 2
7 3 [ ] 2
7 3
; 2
1 (− − ∪ + +∞
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
1 Giả sử đờng thẳng ∆ là đờng thẳng có phơng trình cần tìm
Vì ∆ đi qua I(-1; -2) nên có phơng trình tham số:
{ x y = = − − 1 2 + + at bt (a2+b2 0≠
Vì A, B là giao điểm của ∆ và (E)
nên: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2)
với t1, t2 là nghiệm của phơng trình:
1 9
) bt 2 ( 16
) at
1
= +
− + +
−
0 1 9
4 16
1 t ) 9
b 2 16
a ( 2 t ) 9
b 16
a
2 2
=
− + + +
− +
0.25
0.5
Trang 80 ) 1 9
4 16
1 )(
9
b
16
a
(
2
2
<
− + + vì a2 + b2 ≠0
nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1, t2
I là trung điểm AB nên:
1 2
) t t ( a
2 1 2
−
= + +
−
2
) t t ( b
−
= + +
−
<=>
0 ) t t
(
a
0 ) t t
(
b
2 1
2 1
= +
= +
<=> t1 + t2 = 0 (vì a2 + b2 ≠0)
t1 + t2 = 0 <=> 0
9
b 2 16
a + =
<=> 9a = -32b, chọn b = -9 => a=32 => đờng thẳng ∆có
ph-ơng trình:
9
2 y 32
1 x
−
+
= +
Giả sử M(x0; y0) vì M∈(E)nên:
1 9
16
y
2
3
y và t sin 4
=
= , Khi đó: {xy0 34cossintt
0
=
= 2
6 ) t cos(
5 2
6 t cos 3 t sin 4
=
− +
=
→
với { 5
3 cos
5
4 sin
= ϕ
=
ϕ -> 2
) t cos(
5 6
d(M,d) = − −ϕ
=> d(M, d) nhỏ nhất <=> cos(t - ϕ) = 1 ⇔t =ϕ+k2π
5
9 cos 3 ) 2 k cos(
3 y
5
16 sin
4 ) 2 k sin(
4 x
0
0
= ϕ
= π + ϕ
=
= ϕ
= π + ϕ
=
Vậy điểm cần tìm là: M(
5
9
; 5
16 ).
0.25
0.5 0.25 0.25
0.5
0.75
0.5
0.25
