ĐỀ 15
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút
Bài 1 (2điểm)
Cho họ đường cong
1 :
) (
2
−
+ +
=
x
n mx x y
C m với m+n≠ − 1
Chứng minh rằng: Nếu ∃a để đường thẳng ∆: y=a không cắt họ đường cong
)
(C m thì họ đường cong có cực đại và cực tiểu
Bài 2(2điểm)
Chứng minh rằng: ∫π
0
sin 2
dx
e x
>32π
Bài 3(2điểm)
3 2
13 3
5 2
2
2
+ +
+ +
x x
x x
Bài 4 (2điểm)
Giải phương trình: x2 + x+ 5 = 5
Bài 5(2điểm)
Giải phương trình: cosx− 3 3 sinx= cos 7x
Bài 6(2điểm)
Cho hàm số
+
=
t
t t
f
cos 1
sin ) ( Chứng minh rằng: ∀ ∆ABC ta luôn có:
2
3 3 ) ( ) ( ) (A + f B + f C ≤
Bài 7(2điểm)
Cho hàm số f : Ν * → Ν * thoả mãn 2 điều kiện
i f( 1 ) = 2
ii ∀n>1 thì f( 1 ) + f( 2 ) + + f(n) =n2 f(n)
Hãy xác định công thức đơn giản tính f (n)?
Bài 8(2điểm)
Giải hệ phương trình
, nếu 0 < t ≤Π/2 , nếu Π/2 < t <Π
Trang 2
= +
+
= +
+
= +
+
2 log
log log
2 log log
log
2 log log
log
16 16
4
9 9
3
4 4
2
x y
z
z x
y
z y
x
Bài 9(2điểm)
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
2
) (AC+BD + AD+BC >(AB+CD) 2
Bài 10 (2điểm)
Chứng minh rằng: ( 21) 1 1.32.5.4 (.6 22 1)
5 3 1
2 1
+
= +
− + + +
−
n
n n
C C
n
n n
n
, ∀n∈ Ν