1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

đề thi học sinh giỏi môn toán 12 năm 2011 2012 tỉnh tuyên quang

7 429 1

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 308 KB

Các công cụ chuyển đổi và chỉnh sửa cho tài liệu này

Nội dung

Vậy 3; 2 là nghiệm duy nhất của phương trình... Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d... ---Hết---Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác mà kết quả đúng th

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011

Môn: Toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 01 trang

Câu 1 ( 4 điểm):

a) Giải hệ phương trình:

97 78

x y y x

ïïï

ïïî b) Giải phương trình: 3 x2− + =5x 5 x2− +5x 7

Câu 2 ( 4 điểm):

a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình:

x2 - 2y2 - 1=0

b) Cho n là 1 số tự nhiên Chứng minh :

21+312 +413 + +(n+11) n <2

Câu 3 ( 4 điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi:

1

1

1 1

n n

n

U a U U

U

+

ïï

ïî

trong đó -1 <a < 0 a) Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với "n Î ¥ và (Un) là một dãy số giảm

b) Chứng minh rằng: 1 2

1

1

a

+

+ với "n Î ¥

Câu 4 (4 điểm): Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường

thẳng d có phương trình: ax + by + 1 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d

Câu 5 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O

Đường cao của hình chóp là SA = a M là một điểm di động trên SB, đặt BM =

2

x ( ) α là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) α Tính diện tích thiết diện theo a và x

b) Xác định x để thiết diện là hình thang vuông Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện

-Hết

-Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 2

sở giáo dục và đào tạo

tuyên quang

kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12

NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: Toán

Hướng dẫn chấm

1

a) Giải hệ phương trỡnh sau:

97 78

x y y x

ùùù

Ta cú: x4 + y4 = (x2 + y2 2 ) - 2x y2 2

(I)

( ) 78 (2)

xy x y

ùù

Û ớù

Đặt x2 + y2 = u xy ; = t Từ PT (2) suy ra ĐK:

0; 0

u t

0,5

2 ,( 2 ) 2

u - t

ị là nghiệm của phương trỡnh bậc hai:

X2 - 97X - 12168 = 0 Û X = 169 và X = - 72

13

6

6

x y

xy

xy

ùù

-ùợ ở

0,5 Gớải PT:

2 2 13 6

x y xy

 =

 được 4 nghiệm: (x; y) = (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2)

0,5

Hệ (1) cú 4 nghiệm: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2)

Túm lại hệ cú 4 nghiệm như trờn

0,5

1

b) Giải phương trỡnh: 3 x2− + =5x 5 x2 − +5x 7 (1)

Điều kiện: 2

5 5 2

5 5 0

5 5 2

x

x

− + ≥ ⇔



Đặt x2 −5x+5 =t (t ≥0)

Phương trỡnh đó cho trở thành:

3 2 0

2

t

t

=

Trang 3

2 2

1 4

2

x

x

x

 =

⇔  =

 =



0,75

Câu

2.

2.a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình:

x2 - 2y2 - 1= 0 (1)

Ta có: (1)

0,5

Vì x, y là các số nguyên tố nên có các khả năng sau sảy ra:

1

=

= +

y x

y x

1

2 1

=

=

2

3

y

x

(thoả mãn)

3

=

= +

1 1

2

x

y x

(không có nghiệm thoả mãn)

4

=

= + 2

2 1

1 1

y x

x

vô nghiệm Thử lại (3; 2) thoả mãn PT

Vậy (3; 2) là nghiệm duy nhất của phương trình

0,75

2

b)

Giả sử n là 1 số tự nhiên Chứng minh :

21+312 +413 + +(n+11) n <2

1

1 1 (

) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 1 ( )

1 (

1

+

= +

− +

= +

= +

=

n n n n

n

n n

n

n n

n

0,5

n n

(Vì dễ thấy : 1 +

1

+

n

n

< 1+1 = 2 ) Vậy : (n+11) n <2( 1nn1+1) (1) 0,75

Trang 4

Áp dụng bất đẳng thức (1) với n = 1, 2, 3, … n ta có:

21 = (1+11) 1 <2( 11− 12)

3

1 2

1 ( 2 2 ) 1 2 (

1 2

3

1

<

+

=

413 =(3+11) 3 <2( 13− 14)

)

1

1 1

( 2 )

1 (

1

+

<

n

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta có:

) 1 (

1

3 4

1 2 3

1 2

1

<

+ + + +

+

n

1

1

+

n < 2 (ĐPMC) (Bởi vì 1-

1

1

+

n < 1 )

0,75

Câu

3

a)

Cho dãy số (Un) xác định bởi:

1

1

n n

n

U a U

U

U

+

= ìïï

ïî

trong đó - 1< a < 0

Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 (2) với "n Î ¥ và (Un) là một dãy

số giảm

CM bằng quy nạp:

- với n = 1 thì U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1

- Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < U k < 0 ta CM (2) đúng với

n = k + 1: - 1 < U k+1 < 0

0,5

Từ giả thiết quy nạp - 1 < U k < 0 ta có: 0 < Uk + 1 < 1

1

1

k

k

u

u

+ > ⇒ <

+

Do đó 0 2 1 1

1

k k

U U

+

1

k k

U U

+

+

tức là: - 1 < Uk+1 < 0 (đccm)

0,75

Vì - 1 < Un < 0 nên Un + 1 và U > n2 0 với "n

Từ (1) suy ra: 1 2

1

1

n

n

U

U

+

+

+

3

b) Từ đẳng thức (1) suy ra: 1 21

1

n

U

+ + = + "

+

0,5

Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nên:

1 U n a 0

- < £ < với "n từ đó suy ra: 2 2

U ³ a Û U ³ a

Trang 5

Do đó: 21 1 21 1

n

n

1

a

+

0,75

Theo chứng minh trên ta có:

1

a

+

Câu

4

Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng

d có phương trình: ax + by + 1 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) có

phương trình: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng

cách từ A và B đến đường thẳng d

Ta có: (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1

Vì d tiếp xúc với (C) Û d(O;d) = R

21 2

a b

+ =1 ⇔ a2+b2 = ⇔1 a2+b2 =1

1,0

1,0 Mặt khác tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng d là:

a b a b

Do a2 + b2 = 1Þ£Þa 1 T = 2

Vậy Min T = 2

1,0

Câu

5

Hình vẽ:

0,5

5

a)

Ta cã: SA⊥(ABCD)

(α)⊥(ABCD) ⇒ SA // (α)

(α)∩(SAB) = MN // SA

(α)∩(SAC) = OK // SA

(α)∩(SABCD) = NH qua O

(α)∩(SCD) = KH

S

A

D

C B

M

K N

Trang 6

VËy thiÕt diÖn cÇn t×m lµ tø gi¸c MNHK.

0,75

Ta cã MN// OK // SA ⇒ MN ⊥ (ABCD); OK⊥ (ABCD)

S =S +S∆ = MN KO ON+ + OK OH

MN = BN = x; KO =

2

SA

; Tính ON, theo định lý hàm số Côsin ta có:

2 2

2

2

OH ON BN BO BN BO c OBN x x c

a

x ax

Suy ra :

1

4 2

1

2 2ax

4 2

Vậy: Std = 1 2 2

a

a x+ x − +ax

0,75

5

b) §Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng ⇔ MK// NO// BC ⇔ N lµ trung

®iÓm AB ⇔ x= 2a

0,5

Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp, ta cã : V= 1 ( ) 3

a

SA dt ABCD = MÆt ph¾ng ( ) α chia khèi chãp thµnh 2 phÇn V1, V2 víi : V1

=VK.OECH+VKOE.MNB ; V2 = −V V1

0,5

Ta cã :

.

K OECH

a a a

V = OK dt OECH =   =

 ÷

 

.

1

KOE MNB

a a a

V =ON dt MNB =   =

 ÷

 

0,5 0,5

S

A

D

C B

N

E

Trang 7

-Hết -Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.

Ngày đăng: 25/07/2015, 17:04

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Hình vẽ: - đề thi học sinh giỏi môn toán 12 năm 2011 2012 tỉnh tuyên quang
Hình v ẽ: (Trang 5)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

🧩 Sản phẩm bạn có thể quan tâm

w