Vậy 3; 2 là nghiệm duy nhất của phương trình... Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d... ---Hết---Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác mà kết quả đúng th
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang
Câu 1 ( 4 điểm):
a) Giải hệ phương trình:
97 78
x y y x
ïïï
ïïî b) Giải phương trình: 3 x2− + =5x 5 x2− +5x 7
Câu 2 ( 4 điểm):
a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình:
x2 - 2y2 - 1=0
b) Cho n là 1 số tự nhiên Chứng minh :
21+312 +413 + +(n+11) n <2
Câu 3 ( 4 điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi:
1
1
1 1
n n
n
U a U U
U
+
ïï
ïî
trong đó -1 <a < 0 a) Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với "n Î ¥ và (Un) là một dãy số giảm
b) Chứng minh rằng: 1 2
1
1
a
+
+ với "n Î ¥
Câu 4 (4 điểm): Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường
thẳng d có phương trình: ax + by + 1 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d
Câu 5 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O
Đường cao của hình chóp là SA = a M là một điểm di động trên SB, đặt BM =
2
x ( ) α là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) α Tính diện tích thiết diện theo a và x
b) Xác định x để thiết diện là hình thang vuông Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện
-Hết
-Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang
kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Hướng dẫn chấm
1
a) Giải hệ phương trỡnh sau:
97 78
x y y x
ùùù
Ta cú: x4 + y4 = (x2 + y2 2 ) - 2x y2 2
(I)
( ) 78 (2)
xy x y
ùù
Û ớù
Đặt x2 + y2 = u xy ; = t Từ PT (2) suy ra ĐK:
0; 0
u t
ỡ
0,5
2 ,( 2 ) 2
u - t
ị là nghiệm của phương trỡnh bậc hai:
X2 - 97X - 12168 = 0 Û X = 169 và X = - 72
13
6
6
x y
xy
xy
ùù
-ùợ ở
0,5 Gớải PT:
2 2 13 6
x y xy
=
được 4 nghiệm: (x; y) = (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2)
0,5
Hệ (1) cú 4 nghiệm: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2)
Túm lại hệ cú 4 nghiệm như trờn
0,5
1
b) Giải phương trỡnh: 3 x2− + =5x 5 x2 − +5x 7 (1)
Điều kiện: 2
5 5 2
5 5 0
5 5 2
x
x
≤
− + ≥ ⇔
≥
Đặt x2 −5x+5 =t (t ≥0)
Phương trỡnh đó cho trở thành:
3 2 0
2
t
t
=
Trang 32 2
1 4
2
x
x
x
=
⇔ =
=
0,75
Câu
2.
2.a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình:
x2 - 2y2 - 1= 0 (1)
Ta có: (1)
0,5
Vì x, y là các số nguyên tố nên có các khả năng sau sảy ra:
1
=
−
= +
y x
y x
1
2 1
=
=
⇔
2
3
y
x
(thoả mãn)
3
=
−
= +
1 1
2
x
y x
(không có nghiệm thoả mãn)
4
=
−
= + 2
2 1
1 1
y x
x
vô nghiệm Thử lại (3; 2) thoả mãn PT
Vậy (3; 2) là nghiệm duy nhất của phương trình
0,75
2
b)
Giả sử n là 1 số tự nhiên Chứng minh :
21+312 +413 + +(n+11) n <2
1
1 1 (
) 1 (
1 ) 1 (
1 ) 1 ( )
1 (
1
+
−
= +
− +
= +
= +
=
n n n n
n
n n
n
n n
n
0,5
n n
(Vì dễ thấy : 1 +
1
+
n
n
< 1+1 = 2 ) Vậy : (n+11) n <2( 1n − n1+1) (1) 0,75
Trang 4Áp dụng bất đẳng thức (1) với n = 1, 2, 3, … n ta có:
21 = (1+11) 1 <2( 11− 12)
3
1 2
1 ( 2 2 ) 1 2 (
1 2
3
1
−
<
+
=
413 =(3+11) 3 <2( 13− 14)
)
1
1 1
( 2 )
1 (
1
+
−
<
n
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta có:
) 1 (
1
3 4
1 2 3
1 2
1
<
+ + + +
+
n
1
1
+
n < 2 (ĐPMC) (Bởi vì 1-
1
1
+
n < 1 )
0,75
Câu
3
a)
Cho dãy số (Un) xác định bởi:
1
1
n n
n
U a U
U
U
+
= ìïï
ïî
trong đó - 1< a < 0
Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 (2) với "n Î ¥ và (Un) là một dãy
số giảm
CM bằng quy nạp:
- với n = 1 thì U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1
- Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < U k < 0 ta CM (2) đúng với
n = k + 1: - 1 < U k+1 < 0
0,5
Từ giả thiết quy nạp - 1 < U k < 0 ta có: 0 < Uk + 1 < 1
1
1
k
k
u
u
+ > ⇒ <
+
Do đó 0 2 1 1
1
k k
U U
+
1
k k
U U
+
+
tức là: - 1 < Uk+1 < 0 (đccm)
0,75
Vì - 1 < Un < 0 nên Un + 1 và U > n2 0 với "n
Từ (1) suy ra: 1 2
1
1
n
n
U
U
+
+
+
3
b) Từ đẳng thức (1) suy ra: 1 21
1
n
U
+ + = + "
+
0,5
Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nên:
1 U n a 0
- < £ < với "n từ đó suy ra: 2 2
U ³ a Û U ³ a
Trang 5Do đó: 21 1 21 1
n
n
1
a
+
0,75
Theo chứng minh trên ta có:
1
a
+
Câu
4
Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng
d có phương trình: ax + by + 1 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) có
phương trình: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng
cách từ A và B đến đường thẳng d
Ta có: (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1
Vì d tiếp xúc với (C) Û d(O;d) = R
21 2
a b
⇔
+ =1 ⇔ a2+b2 = ⇔1 a2+b2 =1
1,0
1,0 Mặt khác tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng d là:
a b a b
Do a2 + b2 = 1Þ£Þa 1 T = 2
Vậy Min T = 2
1,0
Câu
5
Hình vẽ:
0,5
5
a)
Ta cã: SA⊥(ABCD)
(α)⊥(ABCD) ⇒ SA // (α)
(α)∩(SAB) = MN // SA
(α)∩(SAC) = OK // SA
(α)∩(SABCD) = NH qua O
(α)∩(SCD) = KH
S
A
D
C B
M
K N
Trang 6VËy thiÕt diÖn cÇn t×m lµ tø gi¸c MNHK.
0,75
Ta cã MN// OK // SA ⇒ MN ⊥ (ABCD); OK⊥ (ABCD)
S =S +S∆ = MN KO ON+ + OK OH
MN = BN = x; KO =
2
SA
; Tính ON, theo định lý hàm số Côsin ta có:
2 2
2
2
OH ON BN BO BN BO c OBN x x c
a
x ax
Suy ra :
1
4 2
1
2 2ax
4 2
Vậy: Std = 1 2 2
a
a x+ x − +ax
0,75
5
b) §Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng ⇔ MK// NO// BC ⇔ N lµ trung
®iÓm AB ⇔ x= 2a
0,5
Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp, ta cã : V= 1 ( ) 3
a
SA dt ABCD = MÆt ph¾ng ( ) α chia khèi chãp thµnh 2 phÇn V1, V2 víi : V1
=VK.OECH+VKOE.MNB ; V2 = −V V1
0,5
Ta cã :
.
K OECH
a a a
V = OK dt OECH = =
÷
.
1
KOE MNB
a a a
V =ON dt MNB = =
÷
0,5 0,5
S
A
D
C B
N
E
Trang 7
-Hết -Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.