Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Giải phương trình cos3x+2sin 2x−cosx=0.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm tr
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2+2 (1)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( )C có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với ( ) C tại M
song song với đường thẳng d y: =(m2+5)x+3m+1
Câu 2 (1,0 điểm)
a Giải phương trình cos3x+2sin 2x−cosx=0
b Giải phương trình 5x +51−x − =6 0
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân:
1
2
0
I =∫ x+e xdx
Câu 4 (1,0 điểm)
3
2 log (4x− +3) log (2x+ =3) 2
b Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n1 =C n3 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai 5
triển nhị thức Niutơn của (2+x) n
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC=a 3. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD )
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có N là trung ,
điểm của cạnh CD và đường thẳng BN có phương trình là 13 x−10y+ =13 0; điểm M( 1; 2)−
thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC =4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C Tìm tọa độ
các đỉnh A B C D biết rằng 3, , , , AC =2AB và điểm H thuộc đường thẳng ∆: 2x−3y=0
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , A( 2;1;5)− , mặt phẳng ( ) : 2P x−2y+ − =z 1 0 và đường thẳng 1 2
Tính khoảng cách từ A đến
( )P Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q đi qua A , vuông góc với ( ) P và song song với d
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
x y R
∈
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a là số thực thuộc đoạn [1;2] Chứng minh rằng
(2a+ +3a 4 )(6a a+ +8a 12 )a <24a+1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH
THI THỬ THPT QG LẦN 1 NĂM 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN
Ta có y=x3−3x2 +2
+) Tập xác định: R
+) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y'=3x2−6x,
=
=
⇔
=
2
0 0
'
x
x y
0,25
Giới hạn, tiệm cận:
= −∞
−∞ → y xlim , = +∞ +∞ → y xlim Đồ thị hàm số không có tiệm cận Cực trị: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0; 2), cực tiểu tại (2; 2)− Hàm số đb trên mỗi khoảng (−∞;0); (2;+∞), nghịch biến trên (0; 2) 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 1.a Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0; 2) (0; 2) 0,25 Ta có M( 1; 2).− − 0,25 Pttt của (C) tại M là ∆: y= y/( 1)(− x+ −1) 2 hay ∆: y=9x+7 0,25 1.b 2 2 5 9 / / 2 2 3 1 7 m m d m m m = ± + = ∆ ⇔ ⇔ ⇔ = − ≠ + ≠ 0,5 2.a cos3x+2sin 2x−cosx= ⇔0 2sin 2 (1 sin )x − x =0 0,25 x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y 2 +∞
-2
−∞ y 2
2
O 1 x
-2
Trang 3sin 2 0 2
2 2
x k x
x
π
=
=
=
0,25
2.b
0
x
x
x x
⇔
=
0,25
1 2
1
2 1
1
I x e xdx x dx xe dx I I
x
I x dx
∫
0,5
Đặt
2 x
u x
dv e dx
=
=
2
2
x
du dx e v
=
=
0.25
3
1
1
2
12
e
I = +
0,25
4
x
x
−
4.a
2
8
x= −
Đối chiếu ĐK ta được nghiệm x=3 0,25 ĐK:n∈N*,n≥3.Ta có 5C1n =C n3 ⇔n2−3n−28= ⇔ =0 n 7 hoặc n= −4(Loại) 0,25
4.b
7
7 0
k
=
+ =∑ Sh chứa x5 ứng với k=5 Hệ số của x5 là C7522 =84 0,25
B
C
D A
S
H K J
Kẻ SH ⊥ AC H( ∈AC)
Do (SAC)⊥(ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
;
2
SA SC a
AC
2
2 2
ABCD
AC BD
3 2
S ABCD ABCD
0,5
5
2
a
AH = SA −SH = ⇒CA= HA⇒d C SAD = d H SAD
Do BC//(SAD)⇒d B SAD( , ( ))=d C SAD( , ( ))=4 (d H SAD, ( ))
Kẻ HK ⊥ AD K( ∈AD HJ), ⊥SK J( ∈SK)
0,5
Trang 4– Đề Thi Thử Đại Học
Cm được (SHK)⊥(SAD) mà HJ ⊥SK ⇒HJ ⊥(SAD)⇒d H SAD( , ( ))=HJ
sin 45
4
a
2 2
2 7
HJ
7 7
2 2
269
+
(3 ; 2 )
H∈ ∆ ⇔ H a a
I
G
C D
H N
M
0,25
6
Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN Ta thấy G là trọng tâm ∆BCD
AM = AC⇒MG = AC⇒CG= MG
1
a
19
a= −
Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên H(3; 2)
0,25
MH có pt y− =2 0⇒MN x: + =1 0⇒ N( 1;0)− ⇒C(1;1), D( 3; 1)− −
0,25
CM= MA⇒ A − ⇒I − ⇒ B
2 2 2
( , ( ))
3
(P) có vtpt là np =(2; 2;1)−
, d có vtcp là ud=(2;3;1)
, [n up,d]=(−5;0;10)
0,25
7
Theo giả thiết suy ra (Q) nhận 1
[ , ]=(1;0;-2)
n= − n u
làm vtpt
ĐK: y2− ≥2 0; xy2−2x− ≥2 0
x + y − −y x + −y + + = ⇔y x + −y y + x + − =
2
2 2
0 2
2
y
≥
2 2
y + x + − > ∀x y)
0,5
8
Thay y2 =x2+2vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK: x≥ 3 2 0,25
Trang 5– Đề Thi Thử Đại Học
2
3
2
3
3
3
1
x x
x
=
Ta thấy
2
3
2 2 2 2
x
− +
( )
2 2 3 2 3
2 2 3 2 3
3
x
+
Đặt t = 3 x2−1,t >0 Khi đó (**) trở thành
t + + >t t + ⇔ t + +t > + ⇔ +t t t + t + >t Đúng∀ >t 0
Suy ra (*) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(3; 11)
0,25
a a a
a a a
Do a∈[1;2]⇒2≤2a ≤4; 3≤3a ≤9; 4≤4a ≤16
Với x∈[2;16], ta có
0,25
9
Từ đó suy ra 1 1 1
a a a
a + a + a < − + +
1 1 1 54 (2 3 4 )
a a a
a a a
Khi đó
24
a a a
a a a
0,5