Tính thể tích khối chóp 0.. S ABCD và khoảng cách từ Bđến mặt phẳng SCD theo a.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC.. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lạ
Trang 1TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút )
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2 2 ( )
x
x
+
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
b Tìm m để đường thẳng d y : = 2 mx m + + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ).
Câu 2 (1 điểm)
a Giải phương trình: cos 2 cos x ( x + sin x − = 1 ) 0
b Tính môđun của số phức z = − (1 2 )(2 i + i )2.
Câu 3 (0.5 điểm) Giải phương trình log (2 x − + 3) log (2 x − = 1) 3
Câu 4 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình
3
x y
¡
Câu 5 (1.0 điểm) Tính tích phân
5 1
1
x x
=
+
Câu 6 (1.0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáyABCD là hình thoi cạnh a Góc
· 600
BAC = ,hình chiếu của Strên mặt ( ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC ) ∆ Mặt phẳng ( SAC hợp với mặt phẳng ) ( ABCD góc ) 60 Tính thể tích khối chóp 0 .
S ABCD và khoảng cách từ Bđến mặt phẳng ( SCD theo ) a.
Câu 7 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D,
D(2; 2) và CD = 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC Điểm 22 14 ;
5 5
là trung điểm của HC Xác định các tọa độ các điểm A, B, C của hình thang biết B thuộc đường thẳng : ∆ − x 2 y + = 4 0
Câu 8 (1.0 điểm) Trong không gian Oxyz cho (P) : x 2y 2z 3 0 − + + = , đường thẳng
1
x 3 y 4 z 2
d :
− = + = −
− , 2
d :
− = − =
− Tìm M d , N d ∈ 1 ∈ 2 sao cho MN song song với (P) và khoảng cách từ MN đến ( ) P bằng 2.
Câu 9 (0.5 điểm) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11 Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau Tính xác suất để kết quả thu được là một
số lẻ.
Câu 10 (1.0 điểm) Cho , , a b c là ba số thực dương Chứng minh rằng:
Trang 2
Câu/
1a
*TXĐ: ¡ \ 1
2
−
2
x
−
+
5 (1;3); ( 3;1)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1
; 2
1; 2
Tính giới hạn và tiệm cận
0.25
*Đồ thị: Giao Ox: (- 1; 0); Giao Oy: (0; 2) Vẽ đúng đồ thị 0.25 b
x
x + = + + ≠ −
+ 2
4 mx 4 mx m 1 0
⇒ + + − = , (1); Đặt g x ( ) = 4 mx2 + 4 mx m + − 1
0,25
* (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1/2
⇔
0
1 0 2
m
g
≠
0,25
*Gọi hoành độ các giao điểm A và B là x x1, 2 thì x x1, 2 là các nghiệm của PT (1)
⇒ 1 2
1 2
1 1
4
x x
m
x x
m
x + mx + +m +x + mx + +m
4m +1 x +x +4m m+1 x +x +2 m+1
2
m
m
−
0,25
Dấu bằng xảy ra ⇔ 1
2
m = ( thỏa mãn); KL: 1
2
m = là giá trị cần tìm 2.a cos 2 cosx( x+sinx− =1) 0
cos 2 0
1 sin
x
x π
=
0,25
k
¢
+) Với
2 1
2
x k
π π
=
Trang 32.b 2 2
2
3
log ( x − + 3) log ( x − = 1) 3 (1)
ĐKXĐ: x > 3 (*)
Với ĐK (*) (1) ⇔ log (2[ x − 3)( x − 1) ] = 3
⇔ 3
(x−3)(x− =1) 2
0,25
⇔ x x = − 5 1
=
4
ĐKXĐ:
Nhận xét x≥1,y=1 không là nghiệm của hệ Xét y>1 thì pt (1) của hệ (I)
x +x y− − y− + −y x y− =
2
0,25
1
x
y
− Khi đó, pt (1) trở thành
0,25
1
x
y x
2 2
3
2 2
3
1
x x
x x
x x
x x
− −
− −
0,25
2
x= + ⇒ =y +
Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( ; ) 1 5 3; 5
x y + +
0,25
5
Đặt
2
1
3
t
3
dx tdt
4
2 2
1 2
1
t
=
−
2
t t
2
2ln 3 ln 5
Trang 4O
S
A
D
C B
H E
* Gọi O AC= ∩BDTa có : OB⊥ AC SO, ⊥AC⇒SOB· =600
SH OH HO
0,25
2
a
S = S =
0,25
* Tính khỏang cách
Trong ( SBD ) kẻ OE SH P khi đó ta có : OC OD OE đôi một vuông góc Và : ; ;
d O SCD =OC +OD +OE 3
112
a d
⇒ =
112
a
7
Gọi E là trung điểm DH ta thấy ABME là hình bình hành nên ME⊥AD, nên E là
trực tâm tam giác ADM ⇒AE⊥MD mà AE⊥BM nên DM ⊥DM
0.25
Từ đó suy ra phương trình BM: 3x y+ =16
Tọa độ B là nghiệm của hệ { 2 4 (4;4)
AB IB
DI IB I
CD = IC = ⇒uuur= uur⇒
Phương trình đường thẳng AC x: +2y=10
Phương trình đường thẳng DH: 2x y− =2 suy ra tọa độ (14 18; )
5 5
H suy ra tọa độ C(6; 2)
0.25
C
D
M
Trang 58 Ta có 1
x 3 2t
z 2 2t
= +
= − −
= +
, 2
x 3 6u
d : y 6 4u
= +
= +
= −
Suy ra M 3 2t; 4 3t; 2 2t( + − − + )
N 3 6u;6 4u; 5u+ + −
0.25
Ta có MN 6u 2t;10 4u 3t; 2 5u 2tuuuur( − + + − − − ) , Vectơ pháp tuyến của (P)
p
n = −1; 2; 2
uur
p
3
+
12t 18+ = ⇔ = − ∨ = −6 t 1 t 2
0.25
Khi t= − ⇒ = −1 u 1 tương ứng ta có M 1; 1;0( − ), N 3; 2;5(− )
9 Gọi Ω là tập hợp các cách lấy ra 4 viên bi từ 11 viên bi ban đầu, ta có
11
Số các viên bi đánh số lẻ là 6, số các viên bi đánh số chẵn là 5
Gọi A là biến cố lấy ra 4 viên bi có tổng là một số lẻ
TH1 Trong 4 viên lấy ra có 1 viên bi lẻ, 3 viên bi chẵn Suy ra TH1 có
1 3
6 5
C C =6.10 60= cách
TH2 Trong 4 viên lấy ra có 3 viên bi lẻ, 1 viên bi chẵn, Suy ra TH2 có
3 1
6 5
C C =20.5 100= cách
0.25
6 5 6 5
n A =C C +C C =160 Suy ra P A( ) n A( ) ( ) 160 16
10
Ta có
VT
0.25
Mặt khác: a2 1 2; b2 1 2; c2 1 2
b + ≥a b c + ≥b c a + ≥c a
Cộng theo vế các BĐT trên ta được: a2 b2 c2 1 1 1
Suy ra:
VT
4 a b b c c a a b b c c a VP
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c= = =1
0.5
Thí sinh làm cách khác, đảm vảo tính chặt chẽ và chính xác vẫn được điểm tối đa