Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2011 môn toán (2)

Tính thể tích khối chóp.. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P... M là trung điểm của BC.

ĐỀ SỐ 20

Đề thi thử Đại học lần I năm 2012 – Trường THPT chuyên KHTN

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: 2 1( )

1

x

x





1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng

y = mx + 5

Câu II: (2 điểm)

1) Giải phương trình sau: os 3 os 2 4 cos 1

2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

3sin 4cos 3sin 4cos 1

y x x x x

Câu III: (2 điểm)

1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

2

9 2 4 x m 2 x 2x

2) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức của (2x + 1)n biết tổng các hệ số của

nó là 59049

Câu IV: (3 điểm)

1) Cho chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và đáy bằng

450 Tính thể tích khối chóp

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có đỉnh A (1; 2; 1) và đường chéo BD có phương trình: 3

x   y z

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

3) Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 2y – 23 = 0 Viết phương trình đường thẳng qua A (7;3) cắt (C) tại B, C sao cho AB – 3AC = 0

Câu V: (1 điểm)

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P

ĐỀ SỐ 20

Đề thi thử Đại học lần I năm 2012 – Trường THPT chuyên KHTN Câu I: (2 điểm)

1) TXĐ: x  1 Ta có

2

lim à lim , lim 2

v

TCĐ: x = 1; TCN: y = 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

,1 ; 1;  

2) gọi x0 là hoành độ tiếp điểm A, suy ra phương trình tiếp tuyến tại A là

 0 0  0  0  0 0  0

yy x xx y x y x xy x x y x

Tức là ta có:

 

0

1

1

x



Từ đó

 

0 2

0

2

0

2

1

1 1

3







x x

x

Đáp số: m = −1 hoặc m = −9

Câu II: (2 điểm)

1) Phương trình đã cho tương đương với

2



Nên ta có hai trường hợp sau:

2x  x k kZ

TH2:

 

6 2 2

          

  



   



k k

x

k Z k

x

2) Đặt t = 3sinx + 4cosx (1), ta có ngay t  3242 5 và mỗi t 5 ta đều có x thỏa mãn (1)

Bài toán quy về tìm min, max của hàm số   4 5

1

f t t t trên đoạn 5;5

Ta có

' 0 0; 1; 4 9

    

Dễ thấy f’(x) đổi dấu (−) thành (+) tại x = 0 và (+) thành (−) tại x = −4/9 suy ra x = 0 là điểm cực tiểu và x = −4/9 là điểm cực đại

f(−5) = −5445, f(−4/9) 4 5     4 5

9

4 5

9

45, max y = 5465

Câu III: (2 điểm)

1) Đặt

Bài toán này trở thành tìm m để phương trình 9 + (t2 – 4) = mt (1)

có nghiệm 2 t 2 2

Ta có f(t) nghịch biến trên (2; 5), đồng biến trên ( 5; 2 5)

Mà f(2) = 9/2, f( 5) = 2 5, f(2 5) = 13 5/4

Từ đó 2 5 m 13 2 / 4

2) Giả sử    

0

2 1



k k

P x x a x với 2k k

a C Khi đó tổng các hệ số của P(x) là P (1)

Suy ra (2.1 + n)n = 59049 = 310 suy ra n = 10

Suy ra 1 19

1

3

k

k

a

k

Từ đó a0 < a1 < … < a7 > a8 > a9 > a10

Đáp số: hệ số lớn nhất là a7 = 27

7 10

C

Câu IV: (3 điểm)

1) Kẻ SH ABC M là trung điểm của BC Ta có

2

2

3 à

2 3

2

ABC

2) Phương trình tham số của BD:

3 4

 



  



 



y t

z t

Mặt phẳng   qua A và vuông góc với BD có phương trình 4x – y + z – 3 = 0 Suy ra tâm I của hình vuông thuộc đường thẳng BD và thuộc mặt phẳng   có tọa độ I (1; ½; − ½) suy ra

C (1; −1; −2) Tọa độ điểm B, D thỏa mãn phương trình 4x – y + z – 3 = 0 và điều kiện

4

nên B(3;0;0), D(−1;1;−1) hoặc D(3;0;0) và B(−1;1;−1)

3) Gọi H là trung điểm BC (C) có tâm I(1;−1), R = 5 Có AB.AC = AI2 – R2 Suy ra 3AC2 =

27 AC3,AB 9 AH  6 IH4

Lập  qua A(7;3) có 2 2

n a b a b

cách I một đoạn bằng 4: a(x – 7) + b(y − 3) = 0

0

5











a

b

Phương trình : y – 3 = 0 hoặc −12x + 5y + 69 = 0

Câu V: (1 điểm)

Ta có

       

2

c c a c c a c c a c a



Tương tự

 

2

2 2

b

a b b c

a b a    



ab bc ca P

a b c abc

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy Pmin = 3/2