Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2013 môn toán (6)

Tìm các giá trị của k để đường thẳng ∆ cắt C tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại A.. 1 điểm Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng 3a, đường cao SH

ĐỀ SỐ 5

Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1 (2 điểm)

Cho hàm số y = 2x 1

x 1





1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Cho điểm A (0; 5) và đường thẳng ∆ đi qua điểm I (1; 2) có hệ số góc k Tìm các giá trị của k để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại A

Câu 2 (1 điểm)

Giải phương trình: 2

sin(x ) cos( x)

Câu 3 (1 điểm)

Giải bất phương trình:

2

2



Câu 4 (1 điểm)

Tính tích phân: I = 3

3 0

x tan sin x.(1 sinx)

dx

cos x







Câu 5 (1 điểm)

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng 3a, đường cao SH bằng a 10 , H là trọng tâm tam giác ABD Gọi M là trung điểm của SD Mặt phẳng (BCM) cắt

SH và SA lần lượt tại K và N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và chứng minh điểm K là trực tâm của tam giác SAC

Câu 6 (1 điểm)

Tìm các giá trị của a để tồn tại duy nhất cặp số (x, y) thỏa mãn

a x y 3x2 y

Câu 7 (1 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2

+ y2 – 4x – 2y – 5 = 0 và điểm A (5; 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều

Câu 8 (1 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

d1: x 1 y 1 z 2



Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và tạo với d2 một góc bằng 0

30

Câu 9 (1 điểm)

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

100

(1 i) (1 i) i(1 i)



ĐỀ SỐ 5

Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1 (2 điểm)

1 (1 điểm) Học sinh tự giải

2 (1 điểm)

Pt của ∆: y = k(x – 1) + 2 Để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt sau có hai

nghiệm phân biệt : 2x 1 k(x 1) 2

x 1





2

pt kx 2kx k 3 0

− Nếu k = 0 thì (*) trở thành −3 = 0 vô lý

Trường hợp này không thỏa mãn (loại)

− Nếu k0thì Pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 'k 2k2 k 3 0 k 0



       (0,5 điểm)

Giả sử M (x1 ; y1), N (x2 ; y2) trong đó x1, x2 là nghiệm của pt (*)

Theo hệ thức Viet ta có x1 + x2 = 2  x1 + x2 = 2x1  I là trung điểm của MN Do

∆AMN vuông tại A nên

2AIMNMN 40(x x ) (y y ) 40

(x x ) k (x x ) 40

(x x ) (k 1) 40 (x x ) 4x x (k 1) 40

2

k 3

4 4 (k 1) 40

k



k 3 k



)

Giải phương trình trên ta được hai giá trị k = 3, k = 1

3 đều thỏa mãn bài toán

(0,5 điểm)

Câu 2 (1 điểm)

Điều kiện: cos x 0, cosx 0

2

x

cos x x

cos 2

=

2sin x.cos sin x.sin cosx.cos

x cosx

cos 2





 (0,5 điểm)

2

tan x 0

1 tan x 3 tan x 1

tan x 3

3

 





   



Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là:

x 2k và x k

3



   (k Z) (0,5 điểm)

Câu 3 (1 điểm)

Điều kiện x 0 Bất phương trình đã cho tương đương với

24 x 2 x(24 x) x

8

2

2

    (0,5 điểm)

2( x 24 x ) 3( x 24 x )

Đáp số: 0 x 1 (0,5 điểm)

Câu 4 (1 điểm)

Ta có

2

2

tan sin x(1 sin x) sin cos sin cos sin

cos x.cos x

cos sin cos x cos sin



2

s inx

cos x



0

Câu 5 (1 điểm)

Vì BC AD và ADmp(SAD) nên giao tuyến của (BCM) với (SAD) là đường thẳng qua M song song với AD, suy ra MN AD do đó N là trung điểm của SA

Ta có VS.BCD VS.BAD 1SH.SABD

3

S.BMN

S.ABD

S.BCM

S.BCD

,

Suy ra VS.BCMN VS.BCM VS.BMN 1VS.BCD 1VS.ABD

Vậy

3

S.HCMN

9 10a V

8

 (0,5 điểm)

S

A

D

Trong mp(SAC), nối CN cắt SH tại K là giao điểm của (BCM) với SH

3

Vậy tam giác SAC cân tại C và N là trung điểm của SA, nên CNSA, do đó K là trực tâm của tam giác SAC

(0,5 điểm)

Câu 6 (1 điểm)

Điều kiện: x 0, y 0 

Nhận xét: Với mọi a phương trình a x y 3x2 y (*) luôn có ít nhất một nghiệm là (0; 0)

Ta sẽ tìm a để pt (*) không có nghiệm (x; y) với x + y > 0

  vô nghiệm với x + y > 0 (0,5 điểm)

Đặt t x , 0 t 1

x y

 Xét f(t) = 3t2 1 t , t  0;1

Ta có f (t)' 3 1

 với t(0;1) '

f (t) 0

7

và f(0) = 2, f(1) = 3, f 3 7

7

  

 

 

Suy ra mint  0;1 f (t) 3 và maxt  0;1f (t) 7

Do đó phương trình f(t) = a không có nghiệm trong đoạn  0; 1 a 7

 

 





Đáp số: a 7

 





Câu 7 (1 điểm)

Nhận thấy A (5 ; 2) thuộc đường tròn (C), mà ABC đều nên tâm I (2; 1) của (C) là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi H(x ; y) là trung điểm của BC thì AHBCvà AH 3AI H 1 1;

(0,5 điểm) Suy ra đường thẳng d đi qua H và nhận IA(3;1) làm vectơ pháp tuyến

Vậy phương trình đường thẳng d là : 3x + y – 2 = 0 (0,5 điểm)

Câu 8 (1 điểm)

Gọi phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A2 + B2 +

C2 ≠ 0

Vectơ pháp tuyến của (P) là n(A; B; C)vectơ chỉ phương của d1, d2 lần lượt là u (1; 1;1)1  và 2

u (2;1; 1)

Mặt phẳng (P) chứa d1 tạo với d2 góc 30 nên: 0 1 0

2

n.u 0 cos(n,u ) sin 30









(0,5 điểm)

Từ đó ta có hệ phương trình:

A B C 0

2

6 A B C

  





Giải hệ trên ta được (P) : x + 2y + z + D1 = 0; x – y – 2z + D2 = 0 Mặt khác điểm M (1 ; 1 ; 2)  d1 (P)

Từ đó suy ra có hai mặt phẳng thỏa mãn bài toán là:

(P1) : x – y – 2z + 4 = 0 và (P2) : x + 2y + z – 5 = 0 (0,5 điểm)

Câu 9 (1 điểm)

(1 i)   2i (1 i) (2i)  4

(1 i)    2i (1 i)  ( 2i)  4

Suy ra

25 4

(1 i) z

(1 i) i(1 i) (1 i)



(0,5 điểm)

( 4) 2i ( 4) 3.4 3

Vậy số phức z có phần thực bằng 4

3



và phần ảo bằng 0