Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2.. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lớn hơn 2012 sao cho chữ số hàng nghìn không lớn hơn chữ số hàng đơn vị.. Trong mặt phẳng với hệ tọ
Trang 1ĐỀ SỐ 18
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I I I n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g
T H P T c h u y ê n K H T N
Câu I: Cho hàm số 3 2
yx x C
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng dm đi qua điểm A(−1; −3) và có hệ số góc m cắt
đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau
Câu II:
1 Giải phương trình: sin 1 3cos 2 5
2 cos 4
x x
x
2 Cho a, b, c là ba số lớn hơn 1 Chứng minh rằng:
3
2
Câu III
1 Tính tích phân:
4
2 2 1
ln 1
x xdx I
x
2 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lớn hơn 2012 sao cho chữ số hàng nghìn không lớn hơn chữ số hàng đơn vị
Câu IV
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 5) Phương trình đường phân giác BP và đường trung tuyến CM lần lượt là x – y = 0 và x – 5y + 13 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C và diện tích tam giác ABC
2 Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy là tam giác ABC cân tại C, cạnh đáy AB
= 2a, cosABC = 1
3, góc giữa hai mặt phẳng ABC và A’BC bằng 600 Tính thể tích lăng trụ đứng ABC.A’B’C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC’ theo a
3 Cho A(1, 0, −2) và B(3, 1, 0) và đường thẳng : 1 1 1
Tìm tọa độ điểm
M thuộc d sao cho diện tích tam giác ABM bằng 5
2
Câu V
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2
+ b2 + c2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
ab + bc + 2ca
Trang 2ĐỀ SỐ 18
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I I I n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g
T H P T c h u y ê n K H T N
Câu I
1) y'3x26 , 'x y 0 x 0,x2
Hàm số đồng biến trên , 0 ; 2; và nghịch biến trên khoảng (0; 2) CĐ khi x = 0, yCĐ
= 1 và CT khi x = 2, yCT = −3
2) ddm: y = m(x + 1) – 3 Hoành độ giao điểm của dm và (C) là nghiệm của m(x + 1) – 3 = x3 – 3x2
Từ điều kiện bài toán suy ra g(x) = x2
– 4x + 4 – m
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác −1 sao cho x1 + x2 = 2 (−1) hoặc x1 + (−1) = 2x2 Mà theo định lý viet x1 + x2 = 4 suy ra x1 = 3, x2 = 1 Suy ra m = 1 (thỏa mãn) Có thể giải bằng cách chứng minh điểm uốn U(1; −1) là tâm đối xứng của đồ thị và điều kiện tương đương với
dm đi qua U suy ra −1 = m(1 + 1) – 3 suy ra m = 1)
Câu II
2sin cos 3cos 2 2 cos 4sin 1 0 sin x cos 2sin os (cos 2sin ) 0 (2sin cos )(s inx cos 1) 0
bc
a
Đặt lna = x, lnb = y, lnc = z Ta có x, y, z > 0 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
3 2
y zz x x y y z z x x y
Vế trái:
đpcm Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Câu III
1) Ta có
2
2
4 1
ln
xd x
x x
d x
Trang 32) Xét số abcd có tính chất như đầu bài
TH1: a = 2 d 3 àv c1 nên d có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn và b có 7 cách chọn (khác a, d, c) nên có 7.7.7 số thỏa mãn
TH2: a3nên có 2
7
C cách chọn các cặp hai số a < d, khi đó có 2
8
A cách chọn các cặp hai số
b, c Đáp số: 7.7.7 + 2
7
C 2 8
A
Câu IV
1) Gọi B(b, b) M(b + 3)/2, (b + 5) CM: x – 5y + 13 = 0 b = 1 B(1; 1) Gọi D là
dx của A qua đường thẳng BP Phương trình AD: x + y – 8 = 0 Giao điểm AD và BP là I(4, 4) nên D(5, 3) Phương trình BC BD: x – 2y + 1 = 0 Giao điểm BC và CM là C(7, 4) Đoạn BC = 3 5 , AH = 6
5 Vậy diện tích S = 9
2) Cạnh CA = CB = 3a, đường cao CH = 2 2a, đường cao AK =4 2
3 a Suy ra góc AKA’
= 600, cạnh AA’=4 6
3 a
Vậy thể tích lăng trụ là V = 16 3 3
3 a
Khoảng cách d(AB, B’C) = h(H, (A’B’C)) = 4 2
7 a
3) Gọi M(t + 1, 2t – 1, t – 1) AM= (t, 2t – 1, t + 1), AB = (2, 1, 2)
2
1
2
1
3
t
t
Vậy M(2, 1, 0); M(5/3, 1/3, −1/3)
Câu V Ta có
P ac b ca a c ba c b b b f b
Với hàm số f t 2 1 t t 1 t t, 0,1
Ta có:
6
2 1
t
t t
Trang 4Từ đó f(t) đồng biến trên trên (0, t0) và nghịch biến trên (t0, 1) suy ra
max
3 1 max
2
P
chẳng hạn khi b t0 và
2 0
1
1 2
a c t