Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%
Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%20/50%
Ngày%thi%:%29/03/2015%
Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%
Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%–%Chi%tiết:%www.mathlinks.vn%%
Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số!
y=
1
2x
4−m2x2+1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2.!!
2 Tìm!m!để!hàm!số!(1)!có!cực!tiểu!là!y CTthoả!mãn!
y CT =
1
2.!!!
Câu%2%(1,0%điểm).%
a) Giải!phương!trình! cos2x+ cos210x =1+ 3 cos11x.sin9x.!!
b) Cho!số!phức! z =1+i !Tính!môđun!của!số!phức! w =1+ z + z3+ z4.!!!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!phương!trình! 4 x−9x = 5(ln x −1)(3 x−2x).!!!
Câu%4%(1,0%điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x + y)(1
xy+ 3) =6(x2+ y2)+ 4
2(x2+ y2)
4− x2− y2= 2 2xy + 2− x2− y2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
(x, y∈ !).!!
Câu%5%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân!
I = (x +1) −x2−2x + 3 dx
0
1
Câu%6%(1,0%điểm).%%Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!tâm! O,SO ⊥ (ABCD)! ,! AB = a,BC = a 3!và! SC = a 6 !Gọi!I!là!điểm!thuộc!đoạn!SC!thoả!mãn! SC = 3IC !Tính!thể!
tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!AI!và!SB.!!!
Câu% 7% (1,0% điểm).! Trong! mặt! phẳng! với! trục! toạ! độ! Oxyz! cho! điểm! I(1;2;h1)! và! mặt! phẳng!
(P ) : x −2y + 2z −1= 0 !Viết!phương!trình!mặt!cầu!mặt!cầu!(S)!tâm!I!và!tiếp!xúc!với!mặt!phẳng!
(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!trục!Oz!sao!cho!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!trung!điểm!của!IM.!
Câu%8%(1,0%điểm).%Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!tâm!I.!Gọi!
M!là!trung!điểm!cạnh!CD,!H!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!D!trên!AM!và!N!là!trung!điểm!AH.! Giả!sử!phương!trình!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!IMN!là!
(C ) : (x−
5
2)
2+ ( y −9
2)
2=5
2!và!
đỉnh!D!có!hoành!độ!nguyên!nằm!trên!đường!thẳng! x −2y = 0.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,D.!
Câu%9%(0,5%điểm).%Tìm!số!hạng!chứa! x10!trong!khai!triển!
(
nx
5 − 1
x2)n!biết!n!là!số!tự!nhiên!thoả! mãn! n2+C n2=145 (n ≥ 2).!
Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
z = min x, y,z{ }.!Tìm!giá!trị!nhỏ! nhất!của!biểu!thức!P= x
y + z+
y
z + x+
3
2.
z
x + y−
z
z2+ xy + yz + zx !
Trang 2PHÂN%TÍCH%BÌNH%LUẬN%ĐÁP%ÁN%
Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số!
y=
1
2x
4−m2x2+1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2.!!
2 Tìm!m!để!hàm!số!(1)!có!cực!tiểu!là!y CTthoả!mãn!
y CT =
1
2.!!!
1 Học!sinh!tự!giải.!
2 Ta!có:!
y ' = 2x3−2m2x; y '= 0 ⇔ x= 0
x2= m2
⎡
⎣
⎢
+)!Nếu! m = 0⇒ y' = 2x3; y ' = 0 ⇔ x = 0,!hàm!số!đạt!cực!tiểu!tại!
x = 0; y CT =1≠
1
2(nên!loại).!
+)!Nếu! m ≠ 0 !khi!đó!hàm!số!đạt!cực!tiểu!tại!
±m; y CT = y(±m) =1−
m4
2 !
Ta!có!phương!trình:!
1−m4
2 =1
2⇔ m4=1 ⇔ m = −1;m =1.!
Kết%luận:!Vậy! m =−1;m =1là!giá!trị!cần!tìm.!!!!!!!
Câu%2%(1,0%điểm).%
a) Giải!phương!trình! cos2x+ cos210x =1+ 3 cos11x.sin9x.!!
b) Cho!số!phức! z =1+i !Tính!môđun!của!số!phức! w =1+ z + z3+ z4.!!!
a) Phương!trình!tương!đương!với:!
1+ cos2x +1+ cos20x
⇔cos2x + cos20x
2 = 3 cos11x.sin9x
⇔ cos11x.cos9x = 3 cos11x.sin9x
⇔
cos11x= 0
tan9x= 1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
x= π
22+ k π
11
x= π
54+ k π
9
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
,k∈ !
.!
Kết%luận:!Vậy!nghiệm!của!phương!trình!là!
x=
π
22+ k π
11;x= π
54+ k π
9,k∈ !.!!
b) Ta!có:!
w =1+ (1+ i) + (1+ i)
3+ (1+ i)4= −4 + 3i ⇒ w = 5.!!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!phương!trình! 4 x−9x = 5(ln x −1)(3 x−2x).!!!
Điều!kiện:! x >0.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
Trang 3!
(2x−3x)(2x+ 3x)= 5(ln x −1)(3 x−2x)
⇔ (2x−3x)(2x+ 3x + 5ln x −5) = 0
⇔ 2
x = 3x
2x+ 3x + 5ln x −5 = 0
⎡
⎣
⎢
⎢⎢ ⇔ x x = 0(l) =1(t / m)
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Kết%luận:!Phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x =1.!!
Câu%4%(1,0%điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x + y)(1
xy+ 3) =6(x2+ y2)+ 4
2(x2+ y2)
4− x2− y2= 2 2xy + 2− x2− y2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
(x, y∈ !).!!
+)!Điều!kiện:! xy >0,x2+ y2≤ 2.!
Do!vế!phải!của!phương!trình!đầu!dương!nên!x+y!dương,!do!đó!x,y!dương.!
+)!Phương!trình!đầu!của!hệ!tương!đương!với:!
3(x + y − 2(x2+ y2))+1
x+1
2(x2+ y2) = 0
⇔ 3(x + y − 2(x2+ y2))+ 2(x2+ y2)(x + y)−4xy
xy 2(x2+ y2) = 0
( 2(x2+ y2)− x − y) −3+ 2(x2+ y2)(x + y)−4xy
xy 2(x2+ y2)( 2(x2+ y2)− x − y)
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟= 0
⇔ ( 2(x2+ y2)− x − y) A−3( )= 0 (*)
.!
Trong!đó!!
!
A=( 2(x2+ y2)(x + y)−4xy)( 2(x2+ y2)+ x + y)
xy 2(x2+ y2)(x − y)2
=( 2(x
2+ y2)(x + y)−4xy)( 2(x2+ y2)+ x + y)
xy 2(x2+ y2)(x − y)2 =2(x + y) + 2(x
2+ y2)
xy 2(x2+ y2)
.!
Do!
xy≤
x2+ y2
2 ≤1.!Suy!ra:!
!
2(x + y) + 2(x2+ y2)
xy 2(x2+ y2) ≥ 3(x + y)
xy 2(x2+ y2) ≥ 6
2xy(x2+ y2)≥ 6
2.1.2 = 3.!
Vì!vậy!
(*)⇔ x = y =1
x = y
⎡
⎣
⎢
+)!Với! x = y =1thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!không!thoả!mãn.!
+)!Với! x = y thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!
Trang 4!
4−2x2= 2 2x + 2−2x2 ⇔ ( 2x −1)( 2x + 3) + ( 2−2x2−1) = 0
⇔ ( 2x −1)( 2x + 3− 1+ 2x
2−2x2+1)= 0
⇔ ( 2x −1)( 2x 2−2x2+ 2+ 2 2−2x2)= 0
⇔ 2x −1= 0 ⇔ x = 1
2
.!
Kết%luận:!Hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!
(x; y)= ( 1
2;
1
2).!!!
Bình%luận:!Phép!biến!đổi!phương!trình!đầu!khá!hiệu!quả,!đó!là!đặt!ngay!nhân!tử!
2(x2+ y2)− x − y !chứa!thành!phần!sau!liên!hợp:! (x − y)2!ra!ngoài!cho!thuận!lợi!biến!đổi! phương!trình.!
Bài%tập%tương%tự%%
Bài%số%01.%Giải!hệ!phương!trình!
(x + y)(1+ 7
20xy)=
10(x2+ y2)+7
5 2(x2+ y2)
2− x2− y2= 2 2xy −1
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
.!Đ/s:!
(x; y)= ( 1
2;
1
2).!!!!!
Bài%số%02.!Giải!hệ!phương!trình!
(2− x)(2− y) + x2+ y2
2 = 2
2− x2− y2+ 2 2xy = 4− x2− y2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!Đ/s:!!
(x; y)= ( 1
2;
1
2).!!!!!
HD:!Phương!trình!đầu!của!hệ!tương!đương!với:!
!
(2− x)(2− y) = 2− x2+ y2
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
2
⇔ (x − y)2 2
2(x2+ y2)+ x + y−
1 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥= 0 ⇔ x = y.!
Do!
2
2(x2+ y2)+ x + y−
1
2≥ 2
2+ 2−
1
2= 0.!!!!
Câu%5%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân!
I = (x +1) −x2−2x + 3 dx
0
1
Đặt! t = 3−x2−2x ⇒ t2= 3− x2−2x ⇒ 2tdt = (−2x −2)dx = −2(x +1)dx.!
Ta!có:!
I = t.(−t dt)
3
0
0
3
∫ =t3
3
3
0 = 3.!!!
Câu%6%(1,0%điểm).%%Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!tâm! O,SO ⊥ (ABCD)! ,! AB = a,BC = a 3!và! SC = a 6 !Gọi!I!là!điểm!thuộc!đoạn!SC!thoả!mãn! SC = 3IC !Tính!thể!
tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!AI!và!SB.!!!
Trang 5!
Ta!có:!
OC=
AC
2 = a2+ 3a2
2 = a.!
Tam!giác!vuông!SOC!có!:!
SO = SC2−OC2= 6a2−a2 = a 5.!!!
Vậy!
V S ABCD=
1
3SO.S ABCD=1
3.a 5.a.a 3=a3 15
3 (đvtt).! +)!Kẻ!IM!song!song!với!SB!cắt!BC!tại!M.!
kẻ!IH!song!song!với!SO!cắt!AC!tại!H,!ta!có:!
IH
SO=CH
CO =CI
CS =1
3,IH =1
3SO=a 5
3 !!
Ta!có:!SB//IM!nên!SB//(AIM)!do!đó:!
d(SB;AI ) = d(SB;(AIM )) = d(B;(AIM )) = 2d(C;(AIM )) = 2.
CA
HA d(H ;(AIM ))=12
5 d(H ;(AIM )).!!
+)!OE!vuông!góc!với!AM!tại!E,!HK!vuông!góc!với!IE!tại!K: HK ⊥ (AIM ) ⇒ HK = d(H;(AIM )).!
Tam!giác!AMC!có!
S AMC =
1
2S ABC=1
2.
1
2.a.a 3=a2 3
4 ,AM = a2+4a2
3 =a 21
3 !
Suy!ra:!
d(C;AM )=2S AMC
AM =2.
a2 3 4
a 21
3
=3a 7
14 !và!
HE=
5
6d(C;AM )=5
6.
3a 7
14 =5a 7
28 !!
Suy!ra:!!
!
1
HK2= 1
IH2+ 1
HE2= 9
5a2+ 112
25a2= 157
25a2 ⇒ HK = 5a
157.!!
Kết%luận:!Vậy!
d(SB;AI )=12
5 HK = 12a
157.!!
Câu% 7% (1,0% điểm).! Trong! mặt! phẳng! với! trục! toạ! độ! Oxyz! cho! điểm! I(1;2;h1)! và! mặt! phẳng!
(P ) : x −2y + 2z −1= 0 !Viết!phương!trình!mặt!cầu!mặt!cầu!(S)!tâm!I!và!tiếp!xúc!với!mặt!phẳng!
(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!trục!Oz!sao!cho!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!trung!điểm!của!IM.!
+)!Vì!(S)!tiếp!xúc!với!(P)!nên!bán!kính!bằng!khoảng!cách!từ!I!đến!(P),!
Ta!có:!
d(I ;(P ))=1−2.2+ 2.(−1)−1
12+ (−2)2+ 22 = 2.!!
+)!Vì!vậy! (S):(x −1)2+ ( y −2)2+ (z +1)2= 4.!!!
+)!Gọi!M(0;0;m)!thuộc!Oz!toạ!độ!trung!điểm!của!IM!là!
H (
1
2;1;
m−1
2 ).!
Do!H!thuộc!(P)!nên!1−2.1+ 2.m−1−1= 0 ⇔ m −7= 0 ↔ m =7⇒ M (0;0;−7).!!!
Trang 6Câu%8%(1,0%điểm).%Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!tâm!I.!Gọi!
M!là!trung!điểm!cạnh!CD,!H!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!D!trên!AM!và!N!là!trung!điểm!AH.! Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,D!biết!phương!trình!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!IMN!là!
(C ) : (x−
5
2)
2+ ( y −9
2)
2=5
2!và!đỉnh!D!có!hoành!độ!nguyên!nằm!trên!đường!thẳng! x −2y = 0.!
!
Đường!tròn!(C)!có!tâm
J (
5
2;
9
2),!bán!kính!
R=
10
2 !
!!+)!Ta!có!tứ!giác!IMDN!nội!tiếp!đường!tròn:!
Chứng)minh.)
Gọi!E!là!trung!điểm!đoạn!HD,!ta!có!
NE = IM =1
2AD
NE //IM
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
!nên!
tứ!giác!IMEN!là!hình!bình!hành.!
Do!đó!E!là!trực!tâm!tam!giác!MND,!và!
EM ⊥ ND ⇒ IN ⊥ ND !!!
Hay!góc! IND ! = IMD! = 900,!do!vậy!IMDN!nội!tiếp!đường!tròn.!!
+)!Do!D!thuộc!(C)!nên!toạ!độ!D!thoả!mãn!hệ:
(x−5
2)
2+ ( y −9
2)
2=5 2
y−2x = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⇔
x = 3, y = 6
x=8
5, y=16 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇒ D(3;6).!
+)!Do!J!là!trung!điểm!của!ID!nên!I(2;3),!và!I!là!trung!điểm!của!BD!nên!B(1;0).!
Kết%luận:!Vậy! B(1;0),D(3;6).!!
Chú%ý.!Nếu!cho!thêm!giả!thiết!điểm!
H (
63
17;
82
17)!ta!tìm!được: A(−1;2),B(1;0),C(5;4),D(3;6) !!
Câu%9%(0,5%điểm).!Tìm!số!hạng!chứa! x10!trong!khai!triển!
(
nx
5 − 1
x2)n!biết!n!là!số!tự!nhiên!thoả! mãn! n2+C n2=145 (n ≥ 2).!!
+)!Ta!có:!
!
n2+n(n−1)
2 =145 ⇔ 3n2−n −290 = 0 ⇔
n =10(t / m)
n= −29
3 (l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
+)!Vì!vậy!
(nx
5 − 1
x2)n = (2x − 1
x2)10= C10k (2x)10−k(−1
x2)k
k=0
10
∑ = C10k.(−1)k.210−k.x10−3k
k=0
10
Chọn! 10−3k =10 ⇔ k = 0suy!ra!số!hạng!cần!tìm!là! C10
0.210=1024.!!!!!
!
Trang 7Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
z = min x, y,z{ }.!Tìm!giá!trị!nhỏ! nhất!của!biểu!thức!
P= x
y + z+
y
z + x+
3
2.
z
x + y−
z
z2+ xy + yz + zx !
Đặt!
a=
x
z ,b= y
z (a,b≥1)!khi!đó:!
!
P= a
b+1+
b
a+1+
3
2(a + b)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ − (a +1)(b +1)1 !
+)!Ta!có:!
(a +1)(b +1) ≥ 2,∀a,b ≥1⇒ − 1
(a +1)(b +1)≥−
1
2,!và!!
!
a
b+1+
b
a+1+
3
2(a + b) = (a + b +1)(
1
b+1+
1
a+1)+
3
2(a + b)−2
≥4(a + b +1)
a + b + 2 +
3
2(a + b)−2
.!
Đặt! t = a+b ≥2 ,!ta!có:!!!
a
b+1+
b
a+1+
3
2(a + b) ≥ f (t) =
4(t+1)
t+ 2 +
3
2t −2 ≥ f (2) =
7
4.!
Do!đó!
P ≥ f (t)−
1
2≥5
4.!!Dấu!bằng!đạt!tại! x = y = z !Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!5/4.!!!
Cách%2:!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!!
z
z2+ xy + yz + zx =
z (z + x)(z + y)≤
1 2
z
z + x+
z
z + y
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ !
Suy!ra!!
x
y + z+
y
z + x−
z
z2+ xy + yz + zx ≥
x
y + z+
y
z + x−
1 2
z
z + x+
z
z + y
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟=
1 2
2y − z
z + x +
2x − z
z + y
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–!Shcwarz!ta!có:!
!
2y − z
z + x +
2x − z
z + y =
(2y − z)2
(2y − z)(z + x)+
(2x − z)2
(2x − z)(z + y)
≥ (2y − z + 2x − z)2
(2y − z)(z + x) + (2x − z)(z + y)=
4(x + y − z)2
4xy + z(x + y)−2z2
≥ 4(x + y − z)2
(x + y)2+ z(x + y)−2z2 =4(x + y − z)
x + y + 2z
.!
Vì!vậy!
P≥
2(x + y − z)
x + y + 2z +
3
2.
z
x + y.!Đặt!
t=
x + y
z ≥ 2ta!có!
P ≥ f (t) =
2(t−1)
t+ 2 +
3
2t !
Xét!hàm!số!f(t)!ta!có:
f '(t)= 6
(t+ 2)2− 3
2t2=9t2−12t −12
t2(t+ 2)2 =3(t −2)(3t + 2)
t2(t+ 2)2 ≥ 0,∀t ≥ 2.!!
Trang 8!
Vì!vậy!
P ≥ f (t) ≥ f (2) =
5
4.!Dấu!bằng!đạt!tại! x = y = z !Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!5/4.!
Bài%tập%tương%tự%s%%
Bài%số%01:%Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! x,y,z ≤1;x + y ≥ z +1.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
của!biểu!thức!
P= x
y + z+
y
z + x−
z
z2+ xy + yz + zx !Đ/s:!
Pmin=
1
2.!!
Bài%số%02:!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
z = min x, y,z{ }.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của! biểu!thức!
P= x
y + z+
y
z + x+
5
4.
z
x + y−
z
z2+ xy + yz + zx !Đ/s:!
Pmin=
9
8.!!!!!
!
!
!