Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)14/50) Ngày)thi):)08/03/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))
)
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số!
y=
3x+1
x−1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2 Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!biết!tiếp!tuyến!có!hệ!số!góc!bằng! −1.!!
Câu)2)(1,0)điểm).))
a) Giải!phương!trình! cos3x −4cos2x +8cosx −5= 0.!!
b) Giải!bất!phương!trình!
1 logx2+ 2log2x2≥ 2.!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
e x + 2 e x+ 3dx
0
ln6
Câu)4)(1,0)điểm).)))
a) Gọi! z1,z2là!hai!nghiệm!của!phương!trình! z2−3z + 5 = 0.!Tìm!phần!thực!và!phần!ảo!của!số! phức! w = (z12+ z22).i + 2−3i.!!
b) Gọi!X!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!có!5!chữ!số!và!chia!hết!cho!7.!Tính!số!phần!tử!của!X!và! tổng!của!tất!cả!các!phần!tử!đó.!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!tam!giác!đều!S.ABC!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!2a.!Gọi!
M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!của!các!đoạn!BC,SM.!Biết!AN!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(SBC).! Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BN.!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hình!bình!hành!ABCD!có!
A(1;2;s3),!B(3;5;s7),!C(1;3;s2).!Tìm!toạ!độ!điểm!D.!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!D!và! chứa!đường!thẳng!OB!với!O!là!gốc!toạ!độ.!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!thoi!ABCD!có!diện!tích!bằng!
2 3 ,!phương!trình!đường!chéo!BD!là! 3x − y = 0 !Đỉnh!A!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!B!trên! đường!thẳng! d : 3x + y = 0.!Tìm!toạ!độ!bốn!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!A!có!hoành!độ!dương.!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x−1)3−2x( y + 3) + 2y −2 = 0 (x + y)2+ y(1− −2x −1) = x2− (−2x −1)3
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
Câu)9)(1,0)điểm).)Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
a
2(a
c +1) + b2(b
c +1) = 3.!Tìm!giá!trị! nhỏ!nhất!của!biểu!thức
P=
a + c
b3+ 2+
b + c
a3+ 2−2 a + b + c !
mmmHẾTmmm)
) )
Trang 2PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số!
y=
3x+1
x−1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2 Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!biết!tiếp!tuyến!có!hệ!số!góc!bằng! −1.!!
1 Học!sinh!tự!giải.!
2 Giả!sử!tiếp!điểm!
M (m;
3m+1
m−1),m≠1.!!
Hệ!số!góc!của!tiếp!tuyến!tại!M!là!
k = y'(m) = − 4
(m−1)2 !
Theo!giả!thiết!ta!có!phương!trình:!!!
− 4
(m−1)2 = −1 ⇔ (m −1)2= 4 ⇔ m= −1
⎡
⎣
⎢
⎢ ⇒ M ( M (3;5)−1;1)
⎡
⎣
⎢
+)!Với!M(s1;1)!ta!có!tiếp!tuyến! y =−x !
+)!Với!M(3;5)!ta!có!tiếp!tuyến! y =−x +8.!
Kết)luận:!Vậy!có!hai!tiếp!tuyến!cần!tìm!là! y =−x;y =−x +8 !!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).))
a) Giải!phương!trình! cos3x −4cos2x +8cosx −5= 0.!!
b) Giải!bất!phương!trình! log2x+ 2log2x2≥ 2.!!
a) Phương!trình!tương!đương!với:!!
!
4cos3x −3cos x −4(2cos2x −1) + 8cos x −5 = 0
⇔ 4cos3x−8cos2x + 5cos x −1= 0
⇔ (cos x −1)(2cos x −1)2= 0 ⇔ cos x
=1
cos x=1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = k2π
x= ±π
3+ k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Kết)luận:!Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!
x = k2π,x = ±
π
3+ k2π,k ∈ !.!!!
Câu!2:!
cos2x =1+ sin 2x ⇔ cos2x −sin 2x =1 ⇔ cos(2x + π
4)= 1
2
⇔ 2x+
π
4 =π
4+ k2π 2x+π
4 = −π
4+ k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = kπ
x= −π
4+ kπ
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
,k∈ !
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!
x = kπ,x = −
π
4+ kπ,k ∈ !.!!
b) Điều!kiện:!
x> 0
2x≠1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇔ 0 < x ≠
1
2.!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!log x+ 2 ≥ 2 ⇔ log x+ 2 ≥ 2.!
Trang 3Đặt! t =log2x,!bất!phương!trình!trở!thành:!
!
t+1≥ 2 ⇔
t2+ t + 2
t+1 ≥ 2 ⇔
t2−t
t+1 ≥ 0 ⇔
t≥1
−1< t ≤ 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⇔ log2x≥1
−1< log2x≤ 0
⎡
⎣
⎢
⎢
x≥ 2 1
2< x ≤1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Kết)luận:!Tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
2;1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎤
⎦
⎥
⎥ ∪ 2;+∞⎡⎣⎢ ).!!!
!!!!
c) Điều!kiện:!
x>1
x<−2
⎡
⎣
⎢
⎢ !
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
!
x−1
x > x−1
x+ 2⇔ (x −1)(
1
x+ 2)> 0 ⇔
2(x−1)
x(x+ 2)> 0 ⇔
x>1
x<−2
⎡
⎣
⎢
⎢ !
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = (−∞;−2)∪(1;+∞).!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
e x + 2 e x+ 3dx
0
ln6
Đặt! t = e x + 3 ⇒ e x = t2−3 ⇒ e x dx = 2tdt.!
Ta!có:!
!
t2−3+ 2t
2
3
(t −1)(t + 3)
2
3
2
3
t+ 3+
1
t−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
3
=1
2⎡⎣⎢3ln t + 3 + ln t −1⎤⎦⎥3
2=1
2(3ln
6
5+ ln 2)
.!
Câu)4)(1,0)điểm).)))
a) Gọi! z1,z2là!hai!nghiệm!của!phương!trình! z2−3z + 5 = 0.!Tìm!phần!ảo!của!số!phức!
w = (z1
2+ z22).i + 2−3i.!)
b) Gọi!X!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!có!5!chữ!số!và!chia!hết!cho!7.!Tính!số!phần!tử!của!X!và! tổng!của!tất!cả!các!phần!tử!đó.)
a) Ta!có:!
Δ = 3
2−4.5 = −11=11i2⇒ z1=3− 11i
2 ,z2=3+ 11i
2 !
Khi!đó:!
w= (3− 11i
2 )
2+ (3+ 11i
2 )
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥.i + 2−3i = 2−4i.!
Kết$luận:!Vậy!phần!ảo!của!w!bằng!s4.!!
Chú)ý.! z12+ z22= (z1+ z2)2−2z1z2= 32−2.5 = −1.!!
b) Các!chữ!số!thuộc!X!là! 10003,10010, ,99995 !Chúng!lập!thành!một!cấp!số!cộng!với!số!hạng! đầu!bằng!10003,!công!sai!bằng!7,!số!hạng!cuối!là!99995.!!!!
Vậy!trong!X!có!tất!cả!n!phần!tử!thoả!mãn: 99995=10003+(n−1).7 ⇔ n =12857.!
Trang 4S=
(a1+ a n ).n
2 =(10003+ 99995).12857
2 = 707122143.!! Chú!ý!tổng!của!n!số!hạng!đầu!của!cấp!số!cộng!
S=
(a1+ a2).n
2 !
Bài)tập)tương)tự)m)
Gọi!X!là!tập!hợp!tất!cả!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!và!chia!hết!cho!6.!Tính!số!phần!tử!của!X! và!tổng!của!tất!cả!các!phần!tử!đó.!!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!tam!giác!đều!S.ABC!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!2a.!Gọi!
M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!của!các!đoạn!BC,SM.!Biết!AN!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(SBC).! Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BN.!
!
+)!Gọi!O!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC,!theo!giả!thiết!ta!có:!
SO ⊥ (ABC ) !!
+)!Ta!có:!
AM = AB.sin60
0= 2a. 3
2 = a 3;SO =2
3AM =2a 3
3 !
Do! AN ⊥ (SBC) ⇒ AN ⊥SM !Vì!AN!vừa!là!đường!cao!vừa!là!
trung!tuyến!của!tam!giác!SAM!nên!SAM!cân!tại!A.!
Suy!ra: SA = AM = a 3 !!
+)!Tam!giác!vuông!ASO!có!
SO = SA
2− AO2 = 3a2−12a2
9 =a 15
3 !
Vì!vậy!
V S ABC =
1
3SO.S ABC =1
3.
a 15
3 .
(a 3)2 3
4 =a3 5
4 (đvtt).!
+)!Tính!d(SA;BN).!
Cách!1:!Sử!dụng!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!có!gốc!M(0;0;0),!B(sa;0;0),!C(a;0;0),!
O(0;
a 3
3 ;0),A(0;a 3;0),S(0; a 3
3 ;
2a 3
3 ).!
Ta!có!N!là!trung!điểm!SM!nên!
N (0;
a 3
6 ;
a 3
3 ).!
Ta!có:!!!
SA! "! = (0;2a 3
3 ;−2a 3
3 ),BN! "!! = (a; a 3
6 ;
a 3
3 ),BA! "! = (a;a 3;0)
⇒ SA⎡! "!,BN! "!!
⎣
⎢ ⎤⎦⎥ = (a2;−2a
2 3
3 ;−2a2 3
3 ), SA⎡! "!,BN! "!!
⎣
⎢ ⎤⎦⎥.BA
! "!
= −a3
.!
Vì!vậy!!
!
! "!
,BN! "!!
⎡
⎣
⎢ ⎤⎦⎥.BA
! "!
SA! "!,BN! "!!
⎡
⎣
⎢ ⎤⎦⎥
a4+4a4
3 +4a4 3
=a 33
11 !.!
Kết!luận:!
V S ABC=a3 5
4 ;d(SA;BN )=a 33
11 !!
Cách)2:!Hình!không!gian!thuần!tuý:!
Trang 5Ta!có:! AN ⊥ (SBC)nên!lúc!này!dựng!lại!hình!coi!đáy!là!SBC!và!đường!cao!là!AN:!
Kẻ!tia!Sx//BN!ta!có!BN//(SA,Sx)!vì!vậy!
! d(BN ;SA) = d(BN ;(SA,Sx)) = d(N ;(SA,Sx)) !
Xem!cập!nhật!chi!tiết!trong!Box!đề!số!14.!!!!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hình!bình!hành!ABCD!có!
A(1;2;s3),!B(3;5;s7),!C(1;3;s2).!Tìm!toạ!độ!điểm!D.!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!D!và! chứa!đường!thẳng!OB!với!O!là!gốc!toạ!độ.!
+)!Do!ABCD!là!hình!bình!hành!nên!
AB
! "!!
= DC! "!! = (2;3;−4) ⇒
1− xD= 2 3− yD = 3
−2− z D = −4
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔
x D= −1
y D= 0
z D = 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇒ D(−1;0;2).!
+)!Ta!có:! OB! "! = (3;5;−7),OD! "!! = (−1;0;2).!
Mặt!phẳng!(P)!đi!qua!D!và!chứa!đường!thẳng!OB!nên!có!vtpt!là
n
!
= OB⎡" !" ,OD" !""
⎣
⎢ ⎤⎦⎥ = (10;1;5) !
Vì!vậy! (P):10(x +1)+1(y−0)+5(z −2) = 0 ⇔ (P):10x + y+5z = 0 !
Kết)luận:!Vậy! D(−1;0;2),(P):10x + y+5z = 0.!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!thoi!ABCD!có!diện!tích!bằng!
2 3 ,!phương!trình!đường!chéo!BD!là! 3x − y = 0 !Đỉnh!A!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!B!trên! đường!thẳng! d : 3x + y = 0.!Tìm!toạ!độ!bốn!đỉnh!A,B,C,D!biết!!đỉnh!A!có!hoành!độ!dương.!
!
Hai!đường!thẳng!BD!và!d!cắt!nhau!tại!gốc!toạ!độ!O(0;0)!và!góc!giữa! chúng!bằng!
!
cos(d1,d2)= 3 3−1.1
3+1 3+1=
1
2⇒ BOA! = 600.!
+)!Gọi!I!là!tâm!hình!thoi!ABCD,!thì!tam!giác!OAC!vuông!tại!A!nên!
IAB ! = BOA! = 600.!!
Ta!có:!
S ABCD = 4S IAB = 2AI.AB sin60
0= 3 OA.sin60( 0) OA.tan60( 0)=3 3
2 OA
2.!
Theo!giả!thiết!ta!có:
3 3
2 OA
2= 2 3 ⇔ OA2=4
3.!!
Gọi!A(x;y)!với!x>0!ta!có!hệ!phương!trình:!
x2+ y2=4
3
3x + y = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇒ A( 1
3;−1).!
+)!Đường!thẳng!AB!đi!qua!A!và!vuông!góc!với!d!nên!có!pt!là!
x − 3y − 4
3= 0.!
Toạ!độ!điểm!B!là!nghiệm!của!hệ!
x − 3y − 4
3= 0
3x − y = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x= −
2 3
y= −2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇒ B(− 2
3;−2).!
Trang 6
x + 3y + 2
3= 0.!
Toạ!độ!điểm!I!là!nghiệm!của!hệ!
3x − y = 0
x + 3y + 2
3= 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇒ I − 1
2 3;−1
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!
+)!Vì!I!là!trung!điểm!của!AC!và!BD!nên!
3;0
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟,D
1
3;1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ !
Kết)luận:!Vậy!
A( 1
3;−1),B(− 2
3;−2),C(− 2
3;0),D( 1
3;1).!!!!!!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x−1)3−2x( y + 3) + 2y −2 = 0 (x + y)2+ y(1− −2x −1) = x2− (−2x −1)3
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
Điều!kiện:!
x≤−
1
2.!Phương!trình!thứ!hai!của!hệ!tương!đương!với:!
!
y2+ 2xy + y + (−2x −1)3 = y −2x −1
⇔ y2− y −2x −1 + (2x +1)y −(2x +1) −2x −1 = 0
⇔ ( y − −2x −1)( y + 2x +1) = 0 ⇔ y = −2x −1
y = −2x −1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
+)!Nếu! y =−2x −1thay!vào!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được:!
x3+ x2−5x −5 = 0 ⇔ (x +1)(x2−5) = 0 ⇔
x = −1(t / m)
x = − 5(t / m)
x = 5(l)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇒ x = −1, y =1
x = − 5, y = 2 5 −1
⎡
⎣
⎢
⎢
+)!Nếu! y = −2x −1 thay!vào!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được:!
!
(x−1)3+ ( −2x −1 +1)3= 0 ⇔ −2x −1 +1=1− x
⇔ −2x −1 = −x ⇔ x≤ 0
x2= −2x −1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇔ x = −1⇒ y =1
.!
Vậy!hệ!phương!trình!có!hai!nghiệm!là! (x;y) = (−1;1);(− 5;2 5−1).!
Câu)9)(1,0)điểm).)Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
a
2(a
c +1) + b2(b
c +1) = 3.!Tìm!giá!trị! nhỏ!nhất!của!biểu!thức
P=
a + c
b3+ 2+
b + c
a3+ 2−2 a + b + c !
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM(dạng!ngược!dấu)!ta!có:!
!
a + c
b3+ 2=
1
2 a + c − (a + c)b3
b3+ 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ ≥12 a + c − (a + c)b
3
3b
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ =12 a + c − (a + c)b
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ !
Tương!tự!ta!có:! b + c
a3+ 2≥
1
2 b + c − (b + c)a2
3
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥ !
Trang 7!
a + c
b3+ 2+
b + c
a3+ 2≥
1
2 a + b + 2c − (a + c)b2+ (b + c)a2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=1
2 a + b + 2c − ab(a + b) + c(a2+ b2)
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ ≥12(a + b + c)
.!
Bởi!vì!theo!giả!thiết!ta!có:! c(3−a2−b2)= a3+ b3≥ ab(a + b) ⇒ ab(a + b) + c(a2+ b2)≤ 3c.!!
Vì!vậy!!
!
P≥
1
2(a + b + c)−2 a + b + c = ( a + b + c −2)2
2 −2 ≥−2.!
Dấu!bằng!đạt!tại!
a + b + c = 2
a = b =1
a2(a + c) + b2(b + c) = 3c
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⇔ a = b =1
c= 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ !
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!s2.!!!
Bài)tập)tương)tự)m))
Bài)số)01.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!chứng!minh!rằng!
!
a + b
c3+ 2+
b + c
a3+ 2+
c + a
b3+ 2≥ a + b + c −
a3+ b3+ c3
3 !
Bài)số)02.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! a3+ b3+ c3= 3.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của! biểu!thức!
P=
a + b
c3+ 2+
b + c
a3+ 2+
c + a
b3+ 2−2(a
2+ b2+ c2).!
Bài)số)03.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!
a
2(a
c +1) + b2(b
c+1) = 3.!Tìm!giá!trị!nhỏ! nhất!của!biểu!thức!
P = (a + b + c)2 b + c
a3+ 2+
a + c
b3+ 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟−9(a
+ b + c)
2 !!!!!!
!
!