Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)03/50) Ngày)thi):)29/01/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202))
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x4−2x2+1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x4−2x2= mcó!bốn! nghiệm!phân!biệt.!!
2 Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!phương!trình!
log2(x
2+ 6x +1)−log2 x2+1 =3
2+ log2(x+1).!
b) Giải!phương!trình!
sin 2x−π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟cos2x = 2 2 cos x +
π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
I= x2−7x + 6 dx
0
4
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn!
z −1−i.z =1 !và! z2−3là!số!thuần!ảo.!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển!
x n−nx2 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
n
= a0+ a1x + + a n2x n2
.!Tìm!số!hạng!
chứa! x20trong!khai!triển,!biết!
4a n2−2n+2 + a n2−3n+6= 0.!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a,AD = a !Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD! và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng! (P): x + y+ z −7= 0.!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm! G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7y+6= 0.!Biết!
F −13
6 ;
3 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟!và!đỉnh!B!có!tung!độ! âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x − y + 2xy )( y − x)x2=1
2xy + ( y −2x)(x + 2xy −4) + y − x = 2x + x
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
.!
Trang 2Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Hotline:)0976)266)202)) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 2!
lllHẾTlll)
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thang)điểm)tương)ứng)cho)từng)ý)nhỏ:)
Câu)1:)Khảo)sát)1,0)điểm;)Tìm)m)0,5)điểm;)1.2:)0,5)điểm)
Câu)2:)2.1)và)2.2)mỗi)ý)0,5)điểm)
Câu)4:)a)và)b)mỗi)ý)0,5)điểm)
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x4−2x2+1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x4−2x2= mcó!bốn! nghiệm!phân!biệt.!!
2 Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
1 Bước!khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!học!sinh!tự!làm.!
+)!Phương!trình!tương!đương!với: m +1= x4−2x2+1.!
Vậy!số!nghiệm!của!phương!trình!là!số!giao!điểm!của!đường!
thẳng! y = m+1với!đồ!thị!hàm!số!(1).!
Dựa!vào!đồ!thị!hàm!số!suy!ra!để!phương!trình!có!3!nghiệm!phân!
!
2 Giả!sử!tiếp!điểm! M(m;m4−2m2+1).!
Phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tại!M!là! y = 4(m3−m)(x −m) + m4−2m2+1.!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!
!
x4−2x2+1= 4(m3−m)(x −m) + m4−2m2+1
⇔ (x −m)2(x2+ 2mx + 3m2−2) = 0
⇔ x = m
x2+ 2mx + 3m2−2 = 0 (2)
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.!
⇔ Δ' = m2−(3m2−2) = 0
−m ≠ m
⎧
⎨
⎪⎪
⎡
⎣
⎢
Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!toán!là! d : y = 0.!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!phương!trình!
log2(x
2+ 6x +1)−log2 x2+1 =3
2+ log2(x+1).!
b) Giải!phương!trình!
sin 2x−π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟cos2x = 2 2 cos x +
π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!!
1 Điều!kiện:!
x+1> 0
x2+ 6x +1> 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇔ x > 2 2 −3.!
Phương!trình!tương!đương!với:!!
Trang 3Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
log2x2+ 6x +1
x2+1 = log2 2 2(x+1)
⎡
⎣⎢ ⎤⎦⎥
⇔x2+ 6x +1
x2+1 = 2 2(x +1) ⇔ 2 2(x
2+1)(x +1) = x2+ 6x +1
⇔ 2 2(x2+1)(x +1) = 3(x +1)2−2(x2+1)
⇔ 3 x+1
x2+1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
2
−2 2 x+1
x2+1−2 = 0
.!
Đặt!
x2+1> 0phương!trình!trở!thành:!
!
3t2−2 2t −2 = 0 ⇔
t = 2(t / m)
3 (l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!
x+1
x2+1= 2 ⇔ (x +1)
2= 2(x2+1) ⇔ (x −1)2= 0 ⇔ x =1.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x =1.!
Chú)ý.!Phát!hiện!tính!đẳng!cấp!của!phương!trình!vô!tỷ.!!!!!
2 !Phương!trình!tương!đương!với:!
sin 2x−π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟(cos2x−sin2x) = 2(cos x −sin x)
⇔ (cos x −sin x) 2−(cos x + sin x)sin 2x − π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟= 0
⇔ (cos x −sin x) 2 −sin x + π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.sin 2x−
π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟= 0
⇔ cos x −sin x = 0 ⇔ tan x =1 ⇔ x = π
4+ kπ,k ∈ !
.!
Bởi!vì!
2−sin x + π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.sin 2x−
π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟≥ 2 − sin x +
π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.sin 2x−
π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟≥ 2 −1> 0.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!!
x=
π
4+ kπ,k ∈ !.!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
I= x2−7x + 6 dx
0
4
Ta!có:!!
!
I = (x2−7x + 6)dx
0
1
1
4
∫
.!
Trang 4Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Hotline:)0976)266)202)) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 4!
Vậy!
I=
49
3 !!
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn!
z −1−i.z =1 !và! z2−3là!số!thuần!ảo.!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển!
x n−nx2 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
n
= a0+ a1x + + a n2x n2
.!Tìm!số!hạng!
chứa! x20trong!khai!triển,!biết!
4a n2−2n+2 + a n2−3n+6= 0.!
a) Giả!sử! z = x + y.i(x,y ∈!)!theo!giải!thiết!ta!có:!
x + yi −1−(x − yi).i =1 ⇔ (x − y −1) + ( y − x)i =1
⇔ (x − y −1)2+ ( y − x)2=1 ⇔ 2(x − y)2−2(x − y) = 0 ⇔ x = y
x − y =1
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
+)!Ta!có! z2−3 = (x + yi)2−3 = x2− y2−3+ 2xy.i.!
Vì! z2−3là!số!thuần!ảo!nên! x2− y2−3 = 0;2xy ≠ 0.!
Vì!vậy!ta!có!hệ!
x2− y2−3 = 0
x = y
x − y −1= 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x= 2
y=1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ z = 2+ i.!
Vậy!số!phức!cần!tìm!là! z = 2+i !!!!!!!!
b)!Cho!khai!triển!
x n−nx2 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
n
= a0+ a1x + + a n2x n2
(n> 2).!Tìm!số!hạng!chứa! x20trong!khai! triển,!biết!
4a n2−2n+2 + a n2−3n+6= 0.!
Ta!có!
x n−nx2
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
n
= (−1)k.n k
2k C n k x n(n −k )+2k
k=0
n
Suy!ra!
a n2−2n+2=
n2
4 C n
2=n3(n−1)
8 ;a n2−3n+6= −n3
8 C n
3= −n4(n −1)(n −2)
Vì!vậy!theo!giả!thiết!ta!có:!
!
4.n3(n−1)
8 −n4(n −1)(n −2)
48 = 0 ⇔ n(n −2)−24 = 0 ⇔ n = 6(t / m)
n = −4(l)
⎡
⎣
⎢
Vậy!số!hạng!cần!tìm!là!
(−1)
4.6 4
24C64x20=19200x20.!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a,AD = a !Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!góc!với!mặt!
đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!
khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Trang 5Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!
Gọi!H!là!giao!điểm!của!AC!và!DM,!suy!ra!H!là!trọng!tâm!
tam!giác!ABD!và! SH ⊥ (ABCD).!
Ta!có!
CH=
2
3AC=2
3 4a2+ a2 =2a 5
3 !
SH = CH.tan60
0=2a 5
3 3=2a 15
3 !
Vì!vậy!
V S ABCD=1
3.
2a 15
3 .2a.a=4a3 15
9 !!!!!
Gọi!N!là!trung!điểm!CD,!có!AMCN!là!hình!bình!hành.!
Vì!vậy!CM//AN!suy!ra!CM//(SAN).!
Vì!vậy! d(CM;SA) = d(CM;(SAN )) = d(C;(SAN )) = 3d(H;(SAN )).!
Kẻ!HK!vuông!góc!với!AN!tại!K,!kẻ!HT!vuông!góc!với!SK!tại!T!suy!ra! HT ⊥ (SAN ).!
Tam!giác!CAN!có! AN = AD2+ DN2= a 2.!
Vì!vậy!
!!
HK = 1
3d C; AN( )=2S ACN
3AN =
S ABCD
6AN = 2a
2
6.a 2 = a 26 .!!!!!
Tam!giác!vuông!SHK!có!
!
1
20a2+18
a2 ⇒ HT = 2a 15
33 !
Vì!vậy!
d(CM ;SA) = 3HT =
2a 15
11 !!!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng! (P): x + y+ z −7= 0.!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Giả!sử! C(a;b;7−a−b)∈(P) là!một!điểm!thuộc!d.!
Vì! CA=CB ⇔ (a−3)2+ (b −3)2+ (6−a −b)2= a2+ (b −2)2+ (6−a −b)2.!
Vì!vậy!đường!thẳng!d!có!phương!trình!
d :
x = t
y = 7−3t
z = 2t
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
,t∈ !.!
Gọi! M (t;7−3t;2t)là!điểm!cần!tìm.!
Ta!có! AM! "!!! = (t −3;4−3t;2t −1),BM! "!! = (t;5−3t;2t −1).!
Suy!ra!
AM
! "!!!
,BM! "!!
⎡
⎣
⎢ ⎤⎦⎥ = (1−2t;6t −3;10t −15) !
! "!!! ! "!! 2 140 t−17
14
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2 +200 7
Trang 6Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Hotline:)0976)266)202)) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 6!
Vậy!điểm!cần!tìm!là!
14;
47
14;
17 7
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ !!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm! G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7y+6= 0.!Biết!
F −13
6 ;
3 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟!và!đỉnh!B!có!tung!độ! âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.!
!
Gọi!a!là!độ!dài!cạnh!hình!vuông!ABCD.!
Ta!có!!
GE! "!! = BE! "!!− BG! "!!=1
2(BA! "! + BD! "!!)−1
3BD
! "!!
=3BA
! "!
+ BD! "!!
GF! "!!= BF! "!!− BG! "!!= 5
12BA
! "!
−1
3BD
! "!!
=5BA
! "!
−4BD! "!!
12
.!
Suy!ra!
72GE! "!!.GF! "!! = (3BA! "! + BD! "!!)(5BA! "! −4BD! "!!)
=15BA2−7BA.BD −4BD2=15a2−7a2−8a2= 0.!!! Vì!vậy!GF!vuông!góc!với!GE.!
Toạ!độ!điểm!G!là!hình!chiếu!của!F!trên!GE!thoả!mãn!hệ!
11x −7y + 6 = 0
7 x+13 6
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟+11 y −
3 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x= −
1 3
y=1 3
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⇒ G −1
3;
1 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ !
Tam!giác!BFG!có!
!
GF2= BF2+ BG2−2BF.BG cos450
⇔112+72
36 = 25
144a
2+2a2
9 −2.5a
12.
a
3⇔ a = 2 10.!
Gọi!B(a;b)!ta!có!
!
FB2= 25
144a
2=125 18
BG2=2a2
9 =80 9
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⇔
a+13 6
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
+ b −3
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
=125 18
a+1 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
+ b −1
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
=80 9
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔
a = −3,b = −1
a= −13
51,b=169
51
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Đối!chiếu!với!điều!kiện!suy!ra!
B( −3;−1),BF
! "!!
= 5
12BA
! "!
⇒ A(−1;5).!
Gọi!I!là!tâm!hình!vuông!có!
BI
! "!
=3
2BG
! "!!
⇒ I (1;1) !Do!I!là!trung!điểm!AC!nên! C(3;−3).!
Và! AD! "!! = BC! "!! ⇒ D(5;3).!!!!!!
Vậy!toạ!độ!bốn!điểm!cần!tìm!là!A(â1;5),!B(â3;â1),!C(3;â3)!và!D(5;3).!!
Chú)ý.!Có!thể!chứng!minh!GE!vuông!góc!GF!bằng!pp!trục!trong!trục!hoặc!sử!dụng!định!Lý!
Pitago!(xem!thêm!video!lời!giải).!
Trang 7Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x − y + 2xy )( y − x)x2=1
2xy + ( y −2x)(x + 2xy −4) + y − x = 2x + x
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
.!
Điều!kiện:! y ≥ x ≥0;2xy+(y−2x)(x + 2xy −4)≥0 !!!
Nhận!thấy! x = 0không!thoả!mãn!hệ!phương!trình.!
Xét!với! x >0viết!lại!phương!trình!dưới!dạng:!
2xy + ( y −2x)(x + 2xy −4) −2x + y − x − x
⇔ 2xy −4x2+ ( y −2x)(x + 2xy −4)
2xy + ( y −2x)(x + 2xy −4) + 2x
+ y −2x
y − x + x = 0
2xy + ( y −2x)(x + 2xy −4) + 2x +
1
y − x + x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
= 0 ⇔ y = 2x
.!
Bởi!vì!từ!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!ta!có:!
x − y + 2xy = 1
( y − x)x2⇔ 3x + 2xy = 1
( y − x)x2+ ( y − x) + x + x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ + x !
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
!
1
( y − x)x2+ ( y − x) + x + x ≥ 2 1
( y − x)x2.( y− x) + 2 x
( y − x)x2.y.x2
.!
Suy!ra! 3x + 2xy −4≥ x ≥0 !Vì!vậy!
3x + 2xy −4 2xy + ( y −2x)(x + 2xy −4) + 2x +
1
y − x + x > 0.!!!!
!Với! y = 2x !thay!vào!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!ta!được:!
!
x4=1 ⇔ x =1, y = 2(t / m)
x = −1, y = −2(l/)
⎡
⎣
⎢
Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x;y) = (1;2).!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!
(2(a + b)(a2+ b2)
2(b + c)(b2+ c2)
2(c + a)(c2+ a2)
ab + bc + ca +1.!
Ta!chứng!minh:!
(a + b)3
(2(a + b)(a2+ b2)
3 ≥ 4ab.!Thật!vậy!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!
! (a + b)9≥128(a + b)(a2+ b2)a3b3⇔ (a + b)8≥128a3b3(a2+ b2).!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
(a + b)4= (a2+ b2+ 2ab)2≥ 8ab(a2+ b2).!
Trang 8Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Hotline:)0976)266)202)) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 8!
!
(b + c)3
2(b + c)(b2+ c2)
2(c + a)(c2+ a2)
Từ!đó!suy!ra:!
P ≥ 4(ab + bc + ca)−16
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1.!!!
Đặt!
t = ab + bc + ca > 0;P ≥ f (t) = 4t −
16t
t+1.!
Ta!có!
f '(t)= 4− 16
(t+1)2; f '(t) = 0 ⇔ t =1(t > 0).!
Ta!có!f’(t)!đổi!dầu!từ!âm!sang!dương!khi!đi!qua!t=1!nên!đạt!cực!tiểu!tại!t=1.!
Từ!đó!suy!ra! P ≥ f (t)≥ f (1) =−4 !!!!
Đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!
a = b = c
ab + bc + ca =1
⎧
⎨
⎪⎪
1
3 !
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!â4.!
Chú)ý.!Do!so!với!ba!phân!thức!đầu!có!phân!thức!cuối!là!khác!nhất!vì!vậy!ý!tưởng!là!đánh!giá!
thông!quá!(ab+bc+ca).!!!
!
!
!!
!
!!
!!