1 Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng ABCD.. 2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBC và SAD.. 3 Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng MNP.. Mặt phẳng MNP cắt hình chóp S.ABCD theo m
Trang 1Đề số 3
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình :
1) 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 2) cos2x – 3cosx + 2 = 0
x
sin 2sin 2 5cos 0
Bài 2 (0,75 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 3sin 3x 4 cos 3x
Bài 3 (1,5 điểm)
1) Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển biểu thức (3x x 3 15)
2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau
Bài 4 (1,5 điểm) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ, các quả cầu chỉ khác nhau về màu Lấy
ngẫu nhiên 5 quả cầu
1) Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ
2) Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ
Bài 5 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) , B(1; – 4); đường thẳng d:
3 5 8 0; đường tròn (C ): (x4)2(y 1)2 Gọi B’, (C) lần lượt là ảnh của B, (C) qua4
phép đối xứng tâm O Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
1) Tìm toạ độ của điểm B’, phương trình của d’ và (C)
2) Tìm phương trình đường tròn (C) ảnh của (C) qua phép vị tâm O tỉ số k = –2
Bài 6 (2,25 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SD và P là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB
1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD)
2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
3) Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ?
4) Gọi K là giao điểm của PQ và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng NK, PM và SB đồng qui tại một điểm
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Đề số 3
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao
Thời gian làm bài 90 phút
1
1 2sin( 2x + 15
0 ).cos( 2x + 150 ) = 1 sin(4x +300) = 1
4x300900k3600 , k Z x150k.900 , k Z 0,5
2
cos2x – 3cosx + 2 = 0
2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
x k x
, k Z
x
2 cos 1
2
1
3
x
sin 2sin 2 5cos 0
(1)
ĐK :
2
4
(*)
Với điều kiện (*) ta có: (1) sin2x – 4sinx.cosx – 5cos2x = 0
cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1)
cosx ≠ 0 , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:
(1) tan2x – 4tanx – 5 = 0 x
x
tan 5
x arctan 54 k
Kết hợp với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương trình đã cho là:
x (2k 1) , x arctan5 k , k Z
4
1
2
y 3sin(3x ) 4 cos(3x )
6
với cos = 3
5 và sin =
4 5 Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng – 5 khi sin 3x 1
6
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi sin 3x 1
6
0,75
3
1
Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15
Số hạng tổng quát của khai trển trên là :
T C15.(3 )x 15 ( x3) C15.( 1) 315 x15 2
Số hạng cần tìm chứa x31 nên 15 + 2k = 31 k = 8 ( thoả mãn)
Hệ số của số hạng cần tìm là : C158.( 1) 3 8 7 = C158.37 14073345
0,75
2 Số cần tìm có dạng abcd , trong đó a , b , c , d 1,2,3,4,5,6,7
và đôi một khác nhau
Vì số cần lập là số chẵn nên d2, 4, 6
Do đó chữ số d có 3 cách chọn
0,75
Trang 3Có A63 cách chọn ba chữ số a, b, c
Vậy có 3.A36 360 số thoả yêu câu bài toán
4
1 Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là C C8 103 2 2520 0,5
2
Không gian mẫu, (của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu từ 18 quả cầu khác
màu ) có số phần tử là : C185 =8568 Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ
– Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520
– Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là C C84 1 10700
– Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : C8556
Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là :
P A( ) 2520 700 56 0,38
8568
1
5
1 Ta có : B’ = (–1; 4), d’: –3x + 5y + 8 = 0Đường tròn (C) có tâm I(–4 ; 1) và bán kính R = 2
Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; – 1) và R’ = 2 (C’) : (x – 4)2 + (y + 1)2 = 4
0,75
2
Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) , khi đó OI''2OI
mà OI ( 4;1)
Suy ra OI '' (8; 2)
I '' (8; 2) và R’’ = 2R = 4 Vậy (C’’) : (x – 8)2 + (y + 2)2 = 16
0,75
6
1
K
Q
I
P
N M
D A
B
C S
MN là đường trung bình của tam giác SAD
Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD nên MN // (ABCD)
0,75
2 Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng đi qua S và
3
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình
chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ?
Ba mặt phẳng (MNP), (SAD) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN, PQ,
AD, đồng thời MN //AD nên ba đường thẳng PQ, MN, AD đôi một song song
Trong mặt phẳng (ABCD), qua điểm P kẻ đường thẳng song song với AD, cắt
CD tại Q Điểm Q là giao điểm cần tìm
0,75
4
Trong mặt phẳng (SAB), hai đường thẳng SB và PM không song song nên
chúng cắt nhau tại I Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD)
Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN nên điểm I phải thuộc
đường thẳng NK Vậy ba đường thẳng SB, MP, NK đồng qui tại I
0,5