TỔNG QUAN VỀ CÁC CÔNG CỤ TOÁN CHO TIN HỌC

Định lý 1Mỗi ma trận đều có thể đưa về ma trận bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta có thể thu được nhiều ma trận bậc

TỔNG QUAN VỀ CÁC CÔNG

CỤ TOÁN CHO TIN HỌC

Các thành viên trong nhóm

Trần Tuấn Anh : Hessian 1 và nhiều biến

Trần Thị Vân Anh: Đạo hàm

Trần Văn Bo: Không gian véctơ

Nguyễn Văn Cầu: Ma trận

Lê Văn Đạt: Gradient

Trần Thanh Giảng: Khai triển Taylor

Nguyễn Trung Hiếu: Xác suất

Ma trận: Các khái niệm

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên trường K thường được ký

hiệu Mmxn[K]

Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không.

ký hiệu là 0 Aij=0 với mọi i và j.

Các phần tử khác không của một hàng từ bên trái qua được gọi là

phần tử cơ sở của hàng đó

- Hàng không có phần từ cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

- Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng cột) so

với phần tử cơ sở của hàng trên.

Định nghĩa ma trận bậc thang

Ma trận: Các khái niệm

Không phải ma trận bậc thang

Là ma trận bậc thang

Ma trận: Các khái niệm

Ma trận: Các khái niệm

Ma trận tam giác trên

Ma trận vuông A=(aij)nxn được gọi là ma trận tam giác trên nếu

Định nghĩa ma trận đường chéo

Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm

ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij=0, i

D=

Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là

ma trận đơn vị, tức là ( aij=0, i j; và aii=1 với mọi i).

Định nghĩa ma trận đơn vị

I=

Ma trận: Các khái niệm

Định nghĩa ma trận ba đường chéo

Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài ba đường chéo(đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó một đường)

đều bằng không.

A=

Ma trận: Các khái niệm

Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

1 Nhân một hàng tùy ý với một số khác không hi hi (

2 Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số tùy

ý hi= hi + hj ;

3 Đổi chổ hai hàng tùy ý hi hj

Chú ý: Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản

thường dùng nhất!

Tương tự có 3 phép biến đổi sơ cấp đối với cột

Ma trận: các phép biến đổi

Định lý 1

Mỗi ma trận đều có thể đưa về ma trận bậc thang bằng các phép

biến đổi sơ cấp đối với hàng.

Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta có thể thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau.

Chú ý

Ma trận: các phép biến đổi

Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau đây về

ma trận dang bậc thang A=

Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên bên trái Chọn phần tử khác

không tùy ý làm phần tử cơ sở.

Bước 1

A=

Ma trận: các phép biến đổi

Bước 2: dùng phép bđsc với hàng khử tất cả phần tử còn lại

− 3

1 5 4

1 1

−1

2

−1

1 0 1

2 0 1

−1

1 3 1

2 ]

h2h2-2h1 h3h3-3h1 h4h4+h1

[ 1

0 0

1 1 0

− 1

1 1

2 0 1

1 3

4 ]

h3h3+h2

0 0 0

1 1 0 0

− 1

1 1 0

2 0 1 0

1 3 4

0 ]

h4h4+h3

Ma trận: các phép biến đổi

Định nghĩa

Nếu dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang U

thì u được gọi là dạng bậc thang của A

Định nghĩa

Cột của ma trận bậc thang A được gọi là cột cơ sở nếu cột đó chứa phần tử cơ sở

Ma trận: các phép biến đổi

Sự bằng nhau của hai ma trận

Hai ma trận bằng nhau nếu 1) cùng cỡ 2) Các phần tử tại các vị

trí tương ứng bằng nhau (aij=bij với mọi i,j).

Phép cộng hai ma trận

Tổng A+B

Ma trận: các phép toán

− 2

0 4

2 1

Tính chất của phép nhân ma trận

Chú ý

Ma trận: các phép toán

Định nghĩa hạng của ma trận

Giả sử Amn Tương đương hàng(cột) với ma trận bậc thang E Khi đó

ta gọi hạng của ma trận A là số hàng khác không của ma trận bậc

thang.

r(A) = Số hàng khác không của ma trận bậc thang E.

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau:

Ma trận: hạng của ma trận

Ma trận: hạng của ma trận

Tính chất của hạng ma trận

Ma trận: hạng của ma trận

Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận I sao cho

AB=I=BA khi đó B được gọi là ma trận nghịch đã của A Ký hiệu A-1

Ma trận: ma trận nghịch đảo

Chú ý

Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch Có rất

nhiều ma trận vuông không khả nghịch.

Định nghĩa:

Ma trận: ma trận nghịch đảo

Cách tìm A-1

Ma trận: ma trận nghịch đảo

Ma trận: ma trận nghịch đảo

Không gian véctơ

Không gian véctơ

Khi đó:

• Mỗi phần tử thuộc tập V gọi là một vector

• Mỗi phần tử thuộc tập K là một vô hướng

Không gian véctơ

Không gian véctơ – VD 1

Không gian véctơ – VD 2

Không gian véctơ – VD 3

Không gian véctơ – VD 4

Không gian véctơ – VD 5

Cho V là một K không gian vector tùy ý khi

đó ta luôn có:

Không gian véctơ – Tính

chất đơn giản

Không gian véctơ – Tính

chất đơn giản

Không gian véctơ – Tính

chất đơn giản

Không gian véctơ – Tính

chất đơn giản

Không gian véctơ – Tính

chất đơn giản

Không gian véctơ con

Tập và chính là các không gian vector con của V

Không gian véctơ con

Không gian véctơ con

Không gian véctơ con – VD 1

Không gian véctơ con – VD 1

Không gian véctơ con – VD 2

Không gian véctơ con – VD 2

Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc

tuyến tính

Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc

tuyến tính

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 1

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 2

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 2

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 2

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 3

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 3

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 3

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 4

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 4

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 4

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính – VD 4

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính

Hệ vector trên độc lập tuyến tính trên R3

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính

Độc lập tuyến tính – Phụ

thuộc tuyến tính

Hạng của Véctơ - Hệ con

độc lập tuyến tính tối đại

Hạng của Véctơ - Hệ con

độc lập tuyến tính tối đại

Hạng của Véctơ - Hạng của một

hệ hữu hạn vector

Hạng của Véctơ - Hạng của một

hệ hữu hạn vector

Hạng của Véctơ - Hạng của một

hệ hữu hạn vector – VD 1

, hệ vô nghiệm.

Hạng của Véctơ - Hạng của một

hệ hữu hạn vector – VD 1

Hạng của Véctơ - Hạng của một

hệ hữu hạn vector – VD 2

Hạng của Véctơ - Hạng của một

hệ hữu hạn vector – VD 1

Cơ sở và số chiều

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Hệ sinh của không gian vector

Ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ tuyến tính

Nhân của ánh xạ tuyến tính

Ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ảnh của ánh xạ tuyến tính –

Định lý

Ảnh của ánh xạ tuyến tính –

Định lý

Ảnh của ánh xạ tuyến tính –

Định lý

Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó NA sản phẩm loại A và N – Na

sản phẩm loại B Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0<n<N) Với mỗi

k



.

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

- Phép thử : là 1 thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác

định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả là một biến cố

Ví dụ : Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc đồng

chất 6 mặt Các biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt một chấm, Xuất hiện mặt có chấm chẳn, …

- Biến cố tất yếu: ký hiệu là  (omega), là biến cố nhất thiết phải xảy

ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, biến cố “xuất hiện

mặt có số chấm không quá 6” là biến cố tất yếu

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc sắc 6 mặt, biến cố “xuất hiện

mặt có số chấm lơn hơn 6” là biến cố bất khả

- Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xả

ra khi thực hiện phép thử Ta thường ký hiệu A, A1, A2, B,

C, … để chỉ các biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, xuất hiện mặt 1

chấm là một biến cố ngẫu nhiên

A + B xảy ra  A xảy ra hoặc B xảy ra

 có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2, ….An như sau:

A + A + … + A xảy ra  có ít nhất 1 trong n biến cố A , A , … A xảy ra

A + B

A + B xảy ra  A xảy ra hoặc B xảy ra

 có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố :

“Xuất hiện mặt có số chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẳn”

Ta có :

A= A1 + A2B= A2 + A4 + A6

AB xảy ra  A xảy ra và B xảy ra trong cùng 1 phép thử.

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B

đồng thời xảy ra trong cùng 1 phép thử

Minh họa:

AB

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2, ….An như sau:

A A … A xảy ra  Tất cả n biến cố A , A , … A đồng thời xảy ra

AB xảy ra  A xảy ra và B xảy ra trong cùng 1 phép thử.

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B

đồng thời xảy ra trong cùng 1 phép thử

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A: Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B: Xuất hiện xuất hiện có số chấm lớn hơn hay bằng 5

C: Xuất hiện có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5

Ta có : AB=A6 và ABC= 

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

- Biến cố sơ cấp : là biến cố khác biến cố bất khả thi và không thể

phân tích dưới dạng tổng của hai biến cố khác

Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất

không thể phân chia được nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi những biến cố sơ cấp đó

thuận lợi cho biến cố A Như vậy mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

- Biến cố sơ cấp : là biến cố khác biến cố bất khả thi và không thể

phân tích dưới dạng tổng của hai biến cố khác

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả sáu biến cố sơ

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

- Biến cố xung khắc : hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu

nghĩa là A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, xét biến cố :

A: xuất hiện mặt có số chấm chẳnB:Xuất hiện mặt 1 chấm

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

- Biến cố đối lập: của biến cố A ký hiệu: Ā là biến cố định bởi :

Ā xảy ra thì  A không xảy ra Minh họa :

Như vậy : A và Ā xung khắc, hơn nữa A + Ā =  , nghĩa là nhất thiết

phải có một và chỉ 1 trong 2 biến cố A hoặc Ā xảy ra khi thực hiện phép thử

A Ā  Ā : Biến cố đối lập của A

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

- Biến cố đối lập: của biến cố A ký hiệu: Ā là biến cố định bởi :

Ā xảy ra thì  A không xảy ra Minh họa :

A Ā  Ā : Biến cố đối lập của A

Ví dụ : Khi tung 1 con xúc xắc 6 mặt, xét biến cố :

A: xuất hiện mặt có số chấm chẳnB:Xuất hiện mặt có số chấm lẻ

Ta có: B là biến cố của A

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

- Biến cố đồng khả năng: là các biến cố có khả năng xảy ra như

nhau khi thực hiện phép thử

Ví dụ : Khi tung ngẫu nhiên 1 con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các

biến cố sơ cấp Aj (j=1,2,…6) là đồng khả năng

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

Định nghĩa xác suất : Giả sử khi tiến hành một phép thử, có tất cả n

biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Tỷ số được gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A)

Như vậy :n

mA

P(A)= Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A

Tổng số biến cố có thể xảy ra

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

2 Xác suất:

Công thức tính xác xuất lựa chọn:

Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A, còn lại là loại B Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm (0<n<N) Khi đó với mỗi 0 ≤ k ≤NA thõa 0<n-k<N-NA, xác suất để trong n sản phẩm ra có đúng k sản phẩm loại A là :

Như vậy :

Pn(k)= C C n k

N N

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có :

Mở rộng : Với A1, A2, … An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A +B)= P(A) + P(B)

P(A1 + A2 +… + An)= P(A1) + P(A2) + … + P(An)

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức cộng xác suất :

- Công thức cộng xác suất thứ hai :

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có :

P(A + B)= P(A) + P(B) – P(AB)

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức cộng xác suất :

Lời giải: Gọi Aj (j=0,1, ,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4-j) sản phẩm

xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đó A0,A1,…A4 xung khắc từng đôi và theo công thức tính xác suất lựa chọn với N=15,

NA=10, n=4 ( ở đây loại A là loại tốt), ta có:

P(Aj)= C j C j

. 4

5 10

P(B)=1- P(B)=1- P(A4) = 1 1365210 0,8462

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức nhân xác suất :

- Xác suất có điều kiện:

Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B

đã xảy ra, ký hiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi

Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:

-A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

-B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ

-C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng nhau

-D là biến cố xuất hiện mặt số có số chấm lớn hơn hay bằng 4

Khi đó : P(A/B)=0 ; P(A/C)=2/4=0,5; P(A/D)=2/3

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức nhân xác suất :

- Xác suất có điều kiện:

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là:P(A)=3/6=0,5

Do đó: P(A/B) < P(A); P(A/C)=P(A) ; P(A/D)>P(A)

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, co

thể bằng những cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy ra Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C định nghĩa như sau:

- Tính độc lập : Nếu P(A/B)= P(A),nghĩa là sự xuất hiện của

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức nhân xác suất :

- Công thức nhân xác suất thứ nhất:

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B độc lập với A ta có :

P(AB)= P(A)P(B)

P(A1A2… An)= P(A1)P(A2)….P(An)

Mở rộng : Với A1, A2, … An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là

với mọi 1≤ I # j ≤ n, Ai và Aj độc lập, ta có:

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức nhân xác suất :

- Công thức nhân xác suất thứ hai:

Nếu biến cố A, B biến cố bất kỳ, ta có :

P(AB)= P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)

P(A1A2… An)= P(A1)P(A2/A1)….P(An/A1A2… An-1)

Mở rộng : Với A1, A2, … An là n biến cố bất kỳ, ta có:

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức nhân xác suất :

Ví dụ 1: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I

gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu, lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm

a Tính xác suất để 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt

và 2 sản phẩm xấu

b Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Tính xác suất đã chọn 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I

Xác suất :

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

3 Công thức xác suất:

 Công thức nhân xác suất :

Lời giải: Gọi Ai,Bi (i=0,1,2) là biến cố có i sản phẩm tốt và (2-i) sản phẩm

xấu có trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô I và II

Khi đó A0,A1,A2 xung khắc từng đôi và ta có:

;105

10

2 15

2 5

1 5

0 5

21

2

2 7

2

C C C

P(A2)=