Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính 3.. Các kết quả tính gần ñúng ñược lấy ñến 4 chữ số thập phân Bài 1.. Cho hình chóp S.ABCD có SA=a vuông góc với m
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ðÀO TẠO ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Khóa ngày 05-01-2012
ðỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao ñề)
Qui ñịnh chung:
1 ðề thi gồm 10 bài toán, mỗi bài 5 ñiểm
2 Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính
3 Thí sinh chỉ ghi quy trình bấm phím nếu ñề bài có yêu cầu, khi ñó cần phải ghi rõ loại máy sử dụng
4 Các kết quả tính gần ñúng ñược lấy ñến 4 chữ số thập phân
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 4 3 3 2
2011
17
y= x − x − x + −x trên ñoạn − 3; 2
2
tan 2 sin (3 2012) 2012 ( )
log 5 7 cos
f x
=
Tính f x( )0 với x là nghiệm của phương trình 0 2x3−2x2− 3x+ =1 0
Bài 3 Tìm các nghiệm của phương trình 3x =7sinx+ trên x (0;+∞)
Bài 4 Giải hệ phương trình:
3
(1)
− = −
Bài 5 Một hộp ñựng 4 viên bi màu ñỏ và 18 viên bi màu xanh (các viên bi giống nhau về kích thước và
khối lượng) Cần phải bốc một lần ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu viên bi ñể xác suất có ít nhất một
viên bi màu ñỏ lớn hơn 0,9765
Bài 6 Một tấm vải ñược quấn 357 vòng quanh một lõi gỗ hình trụ có bán kính ñáy bằng 5,678cm, bề dày
của vải là 0,5234mm Tính chiều dài (bằng mét) của tấm vải ñó
2
x
y f ( x )
x
−
+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñó cắt
tiệm cận ñứng tại A và cắt tiệm cận ngang tại B sao cho góc ∠ IAB = α, trong ñó I là tâm ñối xứng của ñồ thị (C) và góc α thỏa mãn
1
cos α =
Bài 8 Cho hình chóp S ABC có các mặt bên nghiêng ñều trên ñáy một góc bằng α = 75 23'45''0 Tính
thể tích khối chóp và diện tích toàn phần của hình chóp biết 5,6789; 6, 7891; 7,8912
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có SA=a vuông góc với mặt phẳng ñáy, ABCD là hình thang vuông tại A và
B, AB=BC=a AD, =2a ; E là trung ñiểm cạnh AD Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE biết rằng a = 3
Bài 10 Cho 2 dãy số ( ) ( ) un ; vn thỏa mãn: u1= 4; v1= 2; và 1
1
2
1 2
n
n
+ +
≥
a Tính 5 số hạng ñầu tiên của hai dãy trên
b Gọi S Sn u; n v lần lượt là tổng của n số hạng ñầu tiên của dãy ( ) ( ) un ; vn
Tính: M = 2 S16u − S16v và = 2012u − 2012v
_ Hết _
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ THI CHÍNH THỨC CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Bậc THPT năm học 2011-2012 Qui ñịnh chung: Thí sinh chỉ ñược ñiểm tối ña khi có cách giải ñúng và kết quả ñúng Trường hợp cách giải
và công thức ñúng nhưng kết quả sai thì cho 1/2 số ñiểm của phần ấy Trường hợp công thức ñưa ra sai mà kết quả ñúng thì không tính ñiểm cả hai phần Trường hợp kết quả sai chữ số thập phân cuối cùng thì trừ 0,25 ñiểm ở phần ấy
ðặt D= − 3 ; 2 , ta thấy f xác ñịnh, liên tục trên D và có
2
f x = x − x − x+
1
Ta có: f(− 3)≈3, 0579, f(−0,9603)≈ −2, 7104,
(0,1824) 0,9035
1
Suy ra −3,1741≤ f x( )≤3, 0579 mọi x∈D
Do ñó, 0≤ f x( )≤3,1741 mọi x∈D (Dấu bằng xẩy ra)
( ) 3,1741
x D
Max f x
( ) 0
x D
Min f x
Sử dụng lệnh Shift Solve ñể giải phương trình và lưu vào biến nhớ,
sau ñó tính ñược ba giá trị:
2 f x( )1 ≈14955, 0177
( )2 ≈33,6746
f x
( )3 ≈586,3181
f x
5
Xét hàm số: y=3x−7sinx− ; Ta có: ' 3 ln 3 7cosx y = x − x− ; 1 2
" 3 ln 3 7sinx
Và y y y ñều là các hàm số liên tục trong khoảng , ,, ,, (0; +∞) 1
Xét x ∈ ( 0; π ) ta có sin x > 0 và 3 ln 3x 2 >0⇒ y " > 0 ∀ ∈ x ( 0; π )
Xét x ∈ [ ; π + ∞ ) ta có
3 ln 3 3 ln 3 7x
x
π
≥ −
⇒ y " > 0 ∀ ∈ x [ ; π +∞ )
Vậy y " > 0 ∀ ∈ x ( 0; ∞ ) Suy ra y = có nhiều nhất một nghiệm trên , 0 (0; +∞)
Do ñó phương trình y =0 (tức phương trình ñang xét) có nhiều nhất hai nghiệm
2
3
ðk: xy≠ 0
Ta có: (1) ( ) 1 1 0
1
x y
x y
xy xy
=
= −
4
Trang 32/4
TH2:
3
1
xy
= −
⇔
= +
1 (3)
5 2 0 (4)
y x
= −
1
Giải phương trình (4) bằng cách xét hàm số f x( )=x4+5x+ 2
Ta thấy hàm số này liên tục trên R , và có:
3
'( ) 4 5
f x = x +
f x = ⇔ x + = ⇔ = −x
Vì f '( )x =0 có nghiệm duy nhất nên phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm
1
4
Sử dụng máy tính ta tìm ñược hai nghiệm gần ñúng là:
≈
≈
-1.5478 0,6461
x
≈
≈
-0,4054 2,4667
x y
Vậy hệ có ba nghiệm ñã nêu trên
1
Gọi k là số bi cần bốc trong một lần
Gọi biến cố A : “Trong k viên bi có ít nhất một viên bi màu ñỏ”
Suy ra biến cố A : “ k viên bi bốc ñược toàn màu xanh”
Ta thấy, nếu k ≥19 thì p A = >( ) 1 0,9765
Bây giờ ta tìm trong tập {1, 2, ,18} xem còn giá trị k nào nữa
không Ta có:
k
n Ω =C ; ( ) 18
k
n A =C ; ( ) 18
22
k k
C
p A
C
= ;
22
k k
C
C
2
Sử dụng máy tìm ñược các giá trị sau:
( )
( )
2
5
Gọi r là bán kính lõi gỗ, d là ñộ dày của vải, lk là chiều dài của vải ở vòng thứ k=1, ,n
Ta có: l1= 2 π r; l2 = 2 π ( r + d ); l3= 2 π ( r + 2 d ); ; ln = 2 π [ r + ( n − 1) d ] 2
Tổng chiều dài của n vòng: S = + + + + l1 l2 l3 ln = 2 π [ n r + + + + (1 2 3 n − 1) d ]
1
2
6
Thay n=357;r=0, 05678;d =0, 0005234 (ñơn vị là mét) ta có : S ≈336,3417 (m) 1
7
Do
1
cos α =
7 30'
Trang 4Tam giác IAB vuông tại I, có ∠ IAB = α nên ∠ ABI = 90o − α
Với x ≠ − 2, ta có:
7
2
x
tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc dương Do ñó hệ số góc của tiếp
tuyến là: k = tan( 90o− α ) = cot α
Gọi x0 là hoành ñộ tiếp ñiểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có:
0
7 2
+
0 0
0
1 0400
2 9600
α ≈ −
1
Với x0 ≈ − 1 0400 , ( ⇒ y0 ≈ − 5 2918 , ), có phương trình tiếp tuyến
7
Với x0 ≈ − 2 9600 , ( ⇒ y0 ≈ 9 2918 , ), phương trình tiếp tuyến
7 5958 31 7751
ðặt a=BC b; =CA c; = AB ; p là nửa chu vi ñáy; r là bán kính
ñường tròn nội tiếp ñáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của ñỉnh S
trên mặt ñáy, dễ dàng chứng minh ñược H là tâm ñường tròn nội
tiếp ñáy
Ta có: S∆ABC = p p a( − )(p b− )(p c− ) ; S ABC
r p
∆
Ta có 1
3 ABC
8
cos
α
2a
a
a a
x
Q I
M
H
N
P
C
E
B S
* Xác ñịnh tâm mặt cầu
Gọi M là trung ñiểm CD thì M là tâm ∆CED
Kẻ Mx//SA thì Mx là trục của ñáy CED (1)
1
9
Trang 54/4
(Mx HP, ), kẻ HI//MP thì HI là trục của ∆SED (2)
Từ (1) và (2), suy ra IS=IC=ID=IE=R
Vậy, tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.CDE hoàn toàn ñược xác ñịnh
* Tính bán kính R
QH
HP=HQ+QP= + = =IM (HIMP là hình chữ
nhật)
2
9
3
4
99, 2589 3
Ta có: + = + + + = + + [ + ] = + + + + −
Suy ra:
1
n
+
Từ ñây tính ñược: u1 =4;u2=10;u3 =28;u4 =82;u5 =244
1
Tương tự:
1
n
+
Suy ra: v1=2;v2 =8;v3 =26;v4 =80;v5 =242 1
Bằng quy nạp, chứng minh ñược: 1 3
n
n
u = + và = − + 1 3
n
n
Dễ thấy: N = S2012u − S2012v = 2012 1 − − ( ) 1 = 4024 1
10
Ta có 2 3 3n
u −v = + Suy ra = − = × + +1 2 + + 16 =
2 u v 3 16 3 3 3 64.570.128