Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)
* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ Bài 1: (5 điểm)
Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn a2 +b2+c2 = Chứng minh rằng: 3
a b c a b+ + = +b c +c a .
Bài 2: (5 điểm)
Cho dãy số ( )v thỏa n 1 2
3
v = − , 2 4
5
v n+1 v n + 2v n+2 v n+1 − 3v n+2 v n = v n+2 − 3v n+ 1 + 2v n , v n ≠ − ; 1 (n≥ 1)
Tìm v n
Bài 3: (5 điểm)
Cho tập hợp M ={1;2;3; ;2011} Hỏi trong tập hợp M có bao nhiêu phần tử
chia hết cho ít nhất một trong ba số 2, 5 và 11?
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi:
JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng
hàng là: 1 1 1
β α γ= + (biết rằng α ≠0,β ≠0,γ ≠0)
HẾT
-(Gồm 01 trang)
CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)
* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (5 điểm)
Ta có a + b + c ≥ a 2 b2 + b2c2 + c2a2
⇔ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a + b + c) ≥ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) (1,0đ)
⇔ a 4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ (a 2 + b2 + c2)2
⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ)
Do đó ta chỉ cần chứng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9
Mà a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 3a a a = 3a4 2 (0,5đ) Tương tự b4 + 2b ≥ 3b 2 ; c4 + 2c ≥ 3c 2 (1,0đ) Vậy a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 3(a 2 + b2 + c2) = 9 (0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 (1,0đ)
Bài 2: (5 điểm)
vn+1.vn +2vn+2.vn+1 -3vn+2.vn = vn+2 -3vn+ 1 + 2vn
2( vn+ vn+ vn+ vn+ 1)
(v n+ 1)(v n 1) 3(v n+ 1)(v n 1) 2(v n+ 1)(v n+ 1)
+ + + (do v n ≠ − ∀ ) 1, n
(1,0đ)
(1,0đ)
1
n
n
u
v
=
+ ta được u n+2 = 3u n+1 − 2u n (1,0đ)
Xét phương trình đặc trưng 2 1
2
1
2
x
x
=
⎡
⎣
.2n
n
u = +a b với u1= 3 , u2= 5 ta được :
2 3 1
(1,0đ) (Gồm 02 trang)
CHÍNH THỨC
Trang 31 2n
n
1 2
v
Bài 3: (5 điểm)
Gọi A là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 2
Gọi B là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 5 (1,0đ)
Gọi C là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 11
Ta cần tính A∪B∪C
Áp dụng công thức:
C B A C A C B B A C B A C
B
Theo giả thiết ta có:
1005 2
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
5
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
11
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
10
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
∩ B
36 55
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
∩ C
22
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
∩ C
110
2011 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=
∩
∩B C
Trong đó [ ]x là phần nguyên của số thực x
Do đó: A∪B∪C = 1005 + 402 + 182 − 201 − 36 − 91 + 18 = 1279 (1,0đ) Vậy số các số cần tìm là 1279
Bài 4: (5 điểm)
* Ta có:
à :
JJG JJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
* Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho:
( )
K F k K I
=
JJJG JJG
* Vì JJJG JJJGAB AD, không cùng phương nên:
0 0
0
k k do
⎧
⎩
−
-Hết -(1,0đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(1,0đ)
(0,5đ)
(1,0đ)
(0,5đ)
