Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương.. Tìm xác suất của biến cố: tổng số chấm không nhỏ hơn 16.. Giả sử G là giao điểm các
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1
ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2012 -2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài I (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – (m2 – 1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt với
hoành độ dương
Bài II (2 điểm)
a Giải bất phương trình:
3 2
b Tìm m để phương trình : ( cosx + 1)(cos2x – m cosx) = m sin2x có đúng hai
nghiệm x thuộc đoạn
3
2
;
Bài III (2 điểm)
a Gieo liên tiếp ba lần một con xúc xắc Tìm xác suất của biến cố: tổng số chấm không nhỏ hơn 16
b Cho ABC Giả sử G là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác
Kí hiệu GAB = , GBC = , GCA =
Chứng minh rằng: cot + cot + cot =
S
c b a
4
3 2 2 2
; trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh và S là diện tích của tam giác
Bài IV (2 điểm)
a Tính : I = x xa dx
1
0
, với a là tham số dương
b Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:
( d1)
0 6 2
0 2
z x
y x
; ( d2)
1
1 2
2 1
x
; ( d3)
1
1 1
1 2
5
x
Chứng minh rằng (d1) chéo (d2) và viết phương trình đường thẳng (d) cắt (d1) cắt (d2)
và song song với (d3)
Bài V (2 điểm)
Cho: x, y, z > 0, x + y + z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz (x + y)(y + z)(z + x)
Trang 2ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN
Bài 1
( 2 điểm)
+ Tập xác định : D= R
+ y’ = 3x2 – 6mx + 3(m2 – 1) ; y’ = 0
1
1 2
1
m x
m x
+ Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
x3 – 3mx2 + 3(m2 -1)x –(m2 -1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt dương khi:
y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
0
0 ,
0 D
d a
x x
y y
CT CD
CT C
2 m1 2
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
Bài 2
( 2 điểm) a) Giải bất phương trình log 2 ( 5 5 1
2
x
x ) + log 3 ( x2 + 7 – 5x) 2 (1)
Đk : x2 – 5x +5 0 x
2
5
5
2
5
5
Đặt t = x2 x5 5 ( t 0)
Bất PT (1) f(t) = log2(t +1) + log3 (t2 + 2) ( với t 2 0)
f’(t) =
2 2
ln 1
1
t
t t 0, nên f(t) tăng khi t 0 f(t) = f(1) t 12
(1) 0 x2 x5 5 1
0 x2 – 5x + 5 1 0 x
2
5
5
2
5 5
x
b) (cosx + 1)(cos2x – mcosx) = msin2x (2)
(cosx + 1)(cos2x – m) = 0
0 2
cos
0 1 cos
m x
x
Pt (2a) có nghiệm không thuộc
3
2
;
nên (2) có đúng 2 nghiệm thuộc
3
2
;
(2b) có đúng 2 nghiệm thuộc
3
2
;
Đặt f(x) = cos2x ; x
3
2
;
, f’(x) = - 2sin2x
f’(x) = 0 sin2x = 0 x = k kZ
2
f’(x) = 0 có x = 0;
2
3
2
;
BBT:
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
a
b
Trang 3Bài Nội dung Điểm
0
2
3
2
f’(x) 0 - 0 + f(x)
1
-2 1 -1
Pt (2) có đúng 2 nghiệm
3
2
;
- 1 < m < -
2 1
0,25 đ
Bài 3
( 2điểm)
a) Gọi X1 , X2 , X3 là số chấm của các lần gieo xúc xắc, ta có: X1 + X2 +
X3 16
5
; 5
; 6
;
;
4
; 6
; 6
;
;
5
; 6
; 6
;
;
6
; 6
; 6
;
;
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
X X X
X X X
X X X
X X X
Trừ trường hợp đầu có 1 hoán vị, các trường hợp còn lại có 3 hoán vị
Gọi X là không gian mẫu, X = X1,X2,X3/X i1,2,3,4,5,6
n(X) =63
Goi A biến cố : tổng số chấm không nhỏ hơn 16;
A = X1,X2,X3/X1 X2X3 16 n (A) = 1 + 3+ 3 + 3 =10
Ta có P(A) =
108
5 6
10 ) (
) (
3
n
n
b) Trong AA’B có: BA’2 = AB2 + AA’2 – 2AB.AA’.cos
cos =
c m
a m c
a
a
2 4
2 2
SABA’ =
2
1 AB.AA’.sin sin =
c m
S
a
cot=
S
a m
8
4
,
tương tự cot
S
b m
8
4
S
c m
8
4
4 2 2 2
cot+ cot+ cot =
S
c b a
4
3 2 2 2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4
( 2 điểm) a) Vì a > 0 nên với a > 1 ta có I = xaxdx
1
0
= 3
1
2
a
với 0 < a < 1 , ta có : I = xa xdx
a
0
+ xx adx
a
1
=
3
1 2 3
2 2
a
a
b) (d1) đi qua M1 (0; - 2; - 6), VTCP U1
= (1; 1 ; 2) (d2) đi qua M2 (4; 2 ; 1) , VTCP U2
= (1; 2 ; 1)
M1M2 = (4; 4 ; 7) ; U U1; 2.M M1 2 0
(d1) chéo (d2)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
B
'
A
A
'
B
C
'
C
G
Trang 4Bài Nội dung Điểm
(d3) VTCP U3
= (2; -1; -1) + MP() (d1) và ()// (d3) n
= (1; 5; -3)
PT () : x + 5y -3z -8 = 0
+ MP() chứa (d2) và ()// (d3)
PT () : x - 3y +5z - 3 = 0 (d) = () ()
PT (d) :
0 3 5 3
0 8 3 5
z y x
z y x
0,25 đ
0,25 đ
Bài 5
(2 điểm)
x, y, z > 0 và x + y + z = 1
+ Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương: 1 = x + y + z 3 xyz3 (1)
2 = (y + x) + (y + z) + (z + x) 3.3 yxyzzx (2)
Nhân từng vế (1) và (2) ta được: 2 93 S S
729
8 9
2 3
Đẳng thức xảy ra khi đẳng thức ở (1) và (2) xảy ra x = y = z =
3 1
Giá trị lớn nhất: S =
729
8 khi x = y = z =
3 1
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Chú ý: Trên đây chỉ là một gợi ý về đáp án Bài làm có cách giải khác đúng vẫn được tính điểm
tương ứng với thang điểm và đáp án trên