Cạnh bên SA vuông góc với đáy.. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a , biết M là điểm trên đoạn BC sao cho MC = 2 MB.. Trong mặt phẳng với h
Trang 1THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN
TỔ TOÁN
ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn TOÁN (Lần 2)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y=x3-6x2 +9x - 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3 2
2x - x +2 x-m = .
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình: sin 3x+ 3 cos3x-2sinx = 0
b) Giải phương trình:
1
1
3
x
x
+
æ ö + ç ÷ - =
è ø
.
1
2
0
I =ò -x + e dx .
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết: z( 1 2- i) +z=10- 4 i .
b) Cho số nguyên dương n thoả mãn: 2C n1-C n 2 +n = 0 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển
3 2 n
x
x
-
è ø , với ( x ¹ 0 ) .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABC bằng ) 60 0 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a , biết M
là điểm trên đoạn BC sao cho MC = 2 MB .
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông
ABCD , biết rằng các đường thẳng AB , CD , BC và AD lần lượt đi qua các điểm M ( 2; 4 ) ,
( 2; 4 )
N - , P ( 2; 2 ) , Q ( 3; 7 - ) .
( x-1) ( 2+ y-1) ( 2+ z +2) 2 = và mặt phẳng 9 ( )P : x+2y- -z 11= Chứng minh rằng mặt phẳng 0
( ) P cắt mặt cầu ( ) S Tìm toạ độ tâm H của đường tròn giao tuyến của ( ) P và ( ) S .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2 2
ï
í
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a b c , , thoả mãn a2+b2+c2 -3b £ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
Trang 2THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN
TỔ TOÁN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn TOÁN (Lần 2) Đáp án gồm 04 trang
1
(2,0đ)
a) (1 điểm)
· Tập xác định: D = ¡
· Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: Ta có: y'=3x2 -12x + 9 ; y =' 0 Û x = 1 hoặc x = 3 .
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ ;1 ) và ( 3; +¥ ) , nghịch biến trên khoảng ( ) 1;3 .
Cực trị: Hàm đạt cực đại tại x = 1 , y = CD 3 . Hàm đạt cực tiểu tại x = 3 , y = - CT 1 .
Giới hạn: lim
®-¥ = -¥ , lim
®+¥ = +¥
0.25
Bảng biến thiên:
'
y
-¥
3
1
-
+¥
`
0.25
· Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số đi qua điểm A ( 4;3 ) và cắt trục tung tại điểm B ( 0; 1 - ) .
0.25
b) (1 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình: x3-6x2 +9x- =1 2m - 1 (1) 0.25
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đường thẳng y=2m - 1 với đồ thị (C) 0.25 Dựa vào đồ thị, để phương trình có nghiệm duy nhất thì : 2m - > 1 3 hoặc 2m - < - 1 1 . 0.25 Hay m > 2 hoặc m < 0 . Vậyphương trình có nghiệm duy nhất khi m > 2 hoặc m < 0 . 0.25
2
(1,0đ) a. sin 3x+ 3cos3x-2 sinx = 0 1sin 3 3 cos3x sin
3
Û ç + ÷ =
Suy ra phương trình có các nghiệm:
6
p
= - + ;
6 2
b. Phương trình tương đương: 1
3
x
x
+ - = . Đặt t=3 , (x t > 0) phương trình trở thành:
2
0.25
Trang 31, 3 1 0
t= Þ = Û x = . t=3,Þ3 =3Û x = 1 .Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0;x = 1 . 0.25
3
1
2
1
0
1
2
2
0
1 x
2
1
2
x
x
e
= -
ì
= -
Þ
2
0
0
0.25
Vậy
1 2
1
4
(1,0đ)
a. Gọi z =a+ bi , ( ,a b Î ¡ ) . Từ giả thiết ta có: ( a+bi)( 1 2- i) +a-bi=10- 4 i 0.25
2 a b 2ai 10 4 i
3
2
b
a
ì + = ì =
ï
=
=
î
. Vậy phần thực là 2, phần ảo là 3. 0.25
b. Tìm n thoả mãn: 2C1n -C n 2 +n = 0 (*) . Điều kiện: n³2,n Î ¢ .
-
0.25
Ta có:
7 7
7
0
2
.( 2)
k
x
-
=
è ø å .Suy ra số hạng chứa x 5 ứng với 21 4- k = Û5 k = 4 . Vậy số hạng chứa x 5 là 4 ( ) 4 5 5
5 7 2 560
0.25
5
(1,0đ)
Vì BC ^ SA và BC ^ AB nên BC ^ SB . Vậy góc giữa mp( SBC ) và mp( ABC ) là
60
SBA = . Ta có: AB= AC2-BC 2 = a .
Diện tích D ABC là
2
.
ABC
a
0.25
0
.tan 60 3
SA= AB = a . Thể tích khối chóp
2 3
a a
Kẻ MN song song AC cắt AB tại N, Þ ACP ( SMN ) . Vậy d SM AC( , ) = d A SMN ( , ( ) ) .
Gọi I là hình chiếu của điểm A lên MN, H là hình chiếu của A lên SI , ÞMI ^ (SAI ) ,
Þ ^ .Mặt khác AH ^ SI nên AH ^ ( SMI ) . Vậy d A SMN( ,( )) = AH .
0.25
AIN
D đồng dạng với D MBN , 2
10
AI
MN
Þ = = . Xét D SAI vuông tại A và có AH là
17
AH
SI
17
a
0.25
6 Gọi n a b r ( ; )
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Vì AB đi qua điểm M ( 2; 4 ) nên phương 0.25
Trang 4(1,0đ) trình tổng quát của AB là: ax+by-2a-4b = 0 . Đường BC đi qua P ( 2; 2 ) và vuông góc với
AB nên có phương trình BC là : -bx+ay-2a+2b = 0 .
ABCD là hình vuông nên d N AB( , ) = d Q BC ( , ) hay
2a 4b 2a 4b 3b 7a 2a 2 b
=
9 7
= -
é
Û ê =
ë
TH1: Chọn a= Þ1, b = - 1 .
Phương trình AB: x-y +2= 0 ,phương trình BC:
4 0
x+ y - = .
Đường CD đi qua N ( 2; 4 - ) và song song với AB nên phương trình CD là: x-y -6= 0 .
Đường AD đi qua Q ( 3; 7 - ) và song song với BC ÞAD
có phương trình: x+ y +4= 0 .
0.25
TH2: Chọn a=7Þb = 9 .
Phương trình AB là: 7x+9y -50= 0 , phương trình BC:
9x 7y 4 0
- + + = .
Từ đó phương trình CD là: 7x+9y +22= 0 , phương
trình AD là: -9x+7y +76= 0 .
0.25
7
(1,0đ)
Mặt cầu ( ) S có tâm I ( 1;1; 2 - ) và bán kính R = 3 . 0.25
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ) P là: ( ( ) ) ( )
( ) 2
2 2
6
+ + -
.
Vì d I P( , ( ) ) < R nên mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu ( ) S .
0.25
Gọi ( ) C là đường tròn giao tuyến của mp( ) P và mc( ) S thì H là hình chiếu vuông góc của I
lên mp( ) P . Ta có phương trình đường thẳng IH là:
1
1 2
2
= +
ì
ï
= +
í
ï = - -
î
,Þ H( 1+t ;1 2 ; 2 + t - - t ) . 0.25
Mặt khác HÎ ( ) P nên ta có: 1+ +t 2 1 2( + t) ( - - -2 t ) -11= 0 hay t = 1 . Vậy H ( 2;3; 3 - ) . 0.25
8
(1,0đ)
Ta có:
7x 12x y 6xy y 2x 2y 0
2
2
2 4
x
x -x y- x + y- x + =æçy- x- ö ÷ + x + > " x y
nên:
( ) 2 Û x-y = 0 hay x= y .
0.25
Þ Hệ tương đương: 2 2
y x
=
ì
í
y x
=
ì
Û í
- + =
î
2
3.
y x
x
x
=
ì
ï
Û í é =
ê
ï =
ë
î
0.25
Vậy hệ có 2 nghiệm ( x y = ; ) ( 2; 2 ) hoặc ( x y = ; ) ( ) 3;3 . 0.25
9
(1,0đ) Ta thấy: 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2
a +b +c - a- b- c+ = a- + b- + c - ³ , theo giả thiết thì
3
a +b +c £ b . Suy ra 3b-2a-4b-2c + ³ 6 0 hay 2a+ +b 2c +10 16 £ .
0.25
Trang 5Với hai số x y > , 0 thì
2 2
x + y ³ x+ y . Áp dụng nhận xét trên ta có:
2
2
a
+ +
;
3
c
+
2
8.
P
.
Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0<2a+ +b 2c +10 16 £ , ÞP ³ 1 .
0.25
Khi a= 1,b= 2,c = thì 1 P = 1 . Vậy P = min 1 0.25