Từ các phần tử của tập A lập các số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, chọn ngẫu nhiên một số từ các số mới lập đó.. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng nghìn
Trang 1TRƯỜNG THPT NHƯ THANH
ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN THỨ 2 NĂM HỌC 2014 2015
Môn : Toán Khối 12 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) H của hàm số 2 1
2
x
y
x
-
=
- .
b. Tìm m để đường thẳng d y : =m- cắt x ( ) H tại hai điểm phân biệt , A B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằm trên đường thẳng D:x+y -16= 0
Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình 1 sin 2 3 os2 cos 0
Câu 3: (1 điểm)
a. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=x3 -3x + trên đoạn 2 [ ] 0; 2 .
b. Cho tập hợp A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } . Từ các phần tử của tập A lập các số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, chọn ngẫu nhiên một số từ các số mới lập đó. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng
nghìn nhỏ hơn 5.
Câu 4: (1 điểm) Tính tích phân ( ) 2
1
1
e
x
dx
x
+
Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình log4 x2 +log 2 4-x = 2
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáyABCDlà hình vuông cạnh 2 ,a SA=a SB, = a 3 , mặt phẳng
( SAB ) vuông góc với mặt đáy ABCD Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm trên BCsao cho 2
3
Tính thể tích khối chóp SBMDN.
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2
C x +y - x+ y - = và đường thẳng d:3x+4y -20= Chứng minh rằng 0 d tiếp xúc với ( ) C Tam giác ABCcó đỉnh AÎ ( ) C hai đỉnh
,
B C Î , trung điểm cạnh d ABthuộc ( ) C Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC , biết trực tâm tam giác ABCtrùng với tâm đường tròn ( ) C và Bcó hoành độ dương.
Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình 3 2 3 2
4 5x -6x +2+4 -10x +8x +7x- + -1 x 13= 0 .
Câu 9: (1 điểm)
Cho các số a b c, , ÎR a, 2+b2+c 2 ¹ và 0 ( 2 2 2 ) ( ) 2
2 4a +4b +c = 2a+2 b c +
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
A
=
……… hết……… GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 21a
* TXĐ: R \ 2 { }
* Sự biến thiên
Chiều biến thiên:
Ta có
( )
'
2
3
2
x
-
-
Vậy hàm số nghịch biến trên ( -¥; 2 , 2; ) ( +¥ )
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
Ta có
- - , suy ra x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có lim 2 1 2; lim 2 1 2
- - , suy ra y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Bảng biến thiên:
'
y
2 + ¥
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1/2; 0), cắt trục Oy tại điểm (0; 1\2).
Vẽ đồ thị.
0,25
0,25
0,25
0,25
1b
* Với x ¹ 2 xét phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2 ( )
2
x
x
-
-
Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm
2
4 12
8 4 0
*
m
ì < -
ì - + > ï
* Với điều kiện (*), gọi A x m( ;1 -x1), B x m( ;2 - x 2 ).
* Tính được ;
2 2
m m
I æç ö ÷
* Điểm I thuộc D:x+ y -16= , suy ra m=16 0
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 3sin x cos 3 os cos 0 cos (s inx 3 cos 1) 0 cos 0
s inx 3 cos 1 0
x
x
=
é
ê
ë
* cos 0
2
p
( )
2
6
2
2
p
p
p p
é
ê
ê = +
ê
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a.
' 2
'
Tính được y(0)=2,y( ) 1 =0,y ( ) 2 = 4
Suy ra Maxy=4; Miny=0.
b.
* Có A 7 4 số có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A, suy ra không gian mẫu W =840
* Gọi số có 4 chữ số , các chữ số khác nhau là abcd , với a<5 suy ra có 4 cách chọn a, chọn
b,c,d có A 6 3 . Vậy có 4. A 6 3 số dạng này.
Gọi M=”Số lập được có chữ số hàng nghìn bé hơn 5”.
Suy ra WM =480
* Xác suất cần tìm:
3
6
4
7
p
A
W
Nhận xét: Có thể giải ngắn gọn như sau: Do vai trò của các số của tập A như nhau, ta có
4 số nhỏ hơn 5 trong 7 số đã cho của tập A, suy ra XS cần tìm là 4
7 .
0,25
0,25
0,25
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 4 ĐK: 0
4
x
x
¹
ì
í
<
î
Ta có bất phương trình
( ) ( ) ( )
2
Th1: Nếu 0<x < 4 thì (1) 2
Th2: Nếu x < 0 thì (1) 2 4 4 0 2 8( )
2 8
x x
x
ì = +
ï
- - = Û í
= -
ï
î
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Ta có
( ) 2 2
2
1
2
2
2 ln
2
3
2
e
x
x x
e
e
=ç + + ÷
= + -
0,5
0,25
Trang 5* Hạ SH ^AB tại H thì SH chính là đường cao và H phải là trung điểm của AM vì tam giác SAM đều.
* Ta có SBMDN=SABCDSADMSCDN=4a 2 5
3 a
2
= 7
3 a
2
.
* Dễ thấy tam giác SAB vuông tại S nên 1 2 1 2 1 2
SB
SA
SH = + Þ SH= 2 2
2
2
.
SB
SA
SB
SA
+ = 2
3
a
* Tính được VSBMDN=
3
1
.SH.SBMDN=
3
2
a =
Nhận xét: Nếu vẽ H trên AM nhưng không nói rõ trung điểm thì cho 50% điểm, vẽ điểm H
và chỉ nói trên AB cho 25% điểm.
0,25
0,25
0,25
0,25
7
Đường tròn (C) có tâm H(1;2), R=5.
Ta có ( , )d H d = , suy ra d tiếp xúc với (C) tại điểm A’(4;2). 5
Tam giác ABC có trực tâm H, B và C thuộc d, suy ra A’ là chân đường cao thuộc BC, A thuộc (C) nên AA’=2R=10, suy ra A(2;6).
Do trung điểm F của AB thuộc (C) nên HF song song với A’B và
'
1
2
0,25
0,25
0,25
N
M
D
A
S
E
A
H
K
F
C
A’
B
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 6 Do C thuộc d nên toạ độ C thoả mãn hệ thức ' ' (0;5).
CA t A B
C
CH AB
ì =
ï
Þ
í
=
ï
uuur uuuur uuur uuur
Vậy A(2;6), B(12;4), C(0;5).
0,25
8
3 2
3 2
*
x x
ï
í
ï
î
PT tương đương với: 4 5x3-6x2+2+4 -10x3+8x2 +7x- =1 x - 13
Với (*), áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
3 2
2
x x
x - x + = x - x + £ - + + (1) Tương tự ta có
3 2
2
Từ (1) và(2) ta có VT= 4 5x3-6x2+2+4 -10x3+8x2+7x- £ -1 4x2 +7x + 9 .
Măt khác ta lại có -4x2+7x+ £ -9 4x2 +7x+ +9 4(x-1)2 =x - 13 =VP.
Vậy phương trình đã cho Û
( )
3 2
3 2
2
x x
x
ï
í
ï
- =
ï
î
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1.
Nhận xét: Nếu HS tách được 13=1+4+8 và nhân liên hợp, tìm được nghiệm x=1nhưng
không chứng minh được nghiệm duy nhất, cho 0,25 điểm.
0,25
0,25
0,25
0,25
9
Ta có (1)
2 2
2
Ûê + + ú = ê + + ç ÷ ú
ë û êë è ø ú û .
Đặt
2
c
d = , ta có [ ] 2 2 2 2
2
a b d éa b d ù
Û + + = ë + + û (1).
Mặt khác ta có 1 ( ) 2 2 2 2
2
Từ (1) và (2) ta được 1 2 2 2
4
ab bd+ +da= éëa +b + d ù û .
Trang 7( )( ) ( )( )
3 3
3
16
c
a b
A
a b d
æ ö + + ç ÷
Đặt x 4a
=
4b
y
=
4d
z
= + + , khi đó
2
4
4
ì
Û
, với điều kiện ( ) 2 4 0 8
3
Từ đó ta tìm được:
1
inf ( ) 1
16
MinA= M x = , đạt được khi a=0, c=2b ¹ 0 ;
M A= M x = , đạt được khi a=b, c=8a, a ¹ 0 .
0,25
0,25
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk