Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi.. Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất hai câu đã thuộc.. Chứng minh mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S.
Trang 1TRƯỜNG THPT MINH CHÂU
ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2
NĂM HỌC 2014 2015
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng d: x + 3y +1 = 0.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình: cos 2 x + ( 1 + 2 cos x )(sin x - cos x ) = 0
b) Giải phương trình: log22x -log (44 x 2 )- = 5 0
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2
1
ln( ) ( 2)
x
x e
x
= +
ò
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức z thoả mãn đẳng thức: z+2( z+z) = - 2 6 i
b) Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi trong một ngân hàng đề thi gồm
15 câu hỏi. Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác suất để bạn
Thủy rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất hai câu đã thuộc.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :2x+3y+ -z 11= 0 và mặt
S x + y +z - x+ y- z - = . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Tìm tọa
độ tiếp điểm của (P) và (S).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB ' ' ' = AC= , a
120
BAC = Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 0 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( AB C ' ' ) theo a
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A - ( 1; 4) , trực
tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M , đường thẳng CH cắt cạnh AB tại N . Tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I (2; 0) , đường thẳng BC đi qua điểm P - (1; 2) . Tìm toạ độ các đỉnh B C , của tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng d x: +2y - = 2 0 .
Câu 8 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình:
2
(1)
ì
í
ï
î
Câu 9 (1,0 điểm) Cho ba số thực , , a b c thỏa mãn a>2,b>0,c > Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 0
2 2 2
( 1)( 1)( 1)
P
.
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 2TRƯỜNG THPT MINH CHÂU
(Đáp án chấm có 06 trang)
ĐÁP ÁN KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 20142015 Môn: TOÁN; LẦN 2
I. LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Với bài hình học không gian (câu 6) nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu 1
Cho hàm số 1 3 2
3
1.Tập xác định : D = 2.Sự biến thiên :
2
' 0
2
x
y
x
=
é
= Û ê =
ë
3 1 1
3
x y x
x
3 1 1
3
x y x
x
0,25đ
Bảng biến thiên
0
4
3
-
Hàm số đồng biến trên các khoảng và Hàm số nghịch biến trên
Hàm số có cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0)=0.
Hàm số có cực tiểu tại x = 2 và yCT = y(2)= 4
3
-
0,25đ
0,25đ
3.Đồ thị Giao Ox: (0;0), (3;0) Giao Oy: (0;0)
y = Û x =
Þ Đồ thị hàm số nhận I (1; 2 )
3
- làm điểm uốn và là tâm đối xứng
0,25đ
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 3ư8 ư6 ư4 ư2 2 4 6 8
ư5
5
x
y
d cú hệ số gúc 1
3
k = - Gọi x là hoành độ điểm M 0
Ycbt '( 0 ).( 1 ) 1
3
y x
0 '( ) 3
y x
2
0 2 0 3 0
0
0
1
3
x
x
= -
ộ
Û ờ
=
ở
4 ( 1; )
3
(3;0)
M
M
ộ
- -
ờ
Û
ờ
ở
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2.a
(0,5 điểm)
PT
( sin cos ) (cos sin 1 ) 0
0 ) cos )(sin
cos
2
1 (
2 cos x + + x x - x = Û x - x x - x + = 0,125
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
+
= +
=
+
=
Û
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
Û
ờ
ở
ộ
= +
-
=
- Û
p
p
p
p
p
p
p
p
2 ,
2
2
4
1
4 sin
2
0
4 sin
2
0
1 sin cos
0 cos
sin
k
x
k
x
k
x
x
x
x
x
x
x
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
Khi đú, phương trỡnh đó cho tương đương với
log x -(log 4+log x )- = Û5 0 log x -log x - = (*) 6 0 0,125
– Đặt t = log 2 x , phương trỡnh (*) trở thành
2
t
t t
t
ộ =
ờ
0,125
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Vừ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 4-
é
ê
Û ê = - Û ê =
ê
3
2
2
2
x x (nhận cả hai nghiệm)
– Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 8 và 1
4
x =
0,125
Câu 3
(1điểm)
Tính tích phân
Ta có
ln
· Ta tính
+
· Ta tính
2
ln 2 ln
Thay các kết quả vào I ta được 5ln 2 1ln 3 1
0,5
4 a Tìm số phức z thoả mãn đẳng thức: z+2( z+z) = - 2 6 i 0,5
Giả sử z=x+yi ( x y , Î ¡ )
Ta có z+2( z+z) = -2 6 i Û x+yi+2( x+yi+ -x yi) =2 6 - i 0,25
5
è ø . Vậy
2
6
5
Câu 4.b
(1 điểm)
b) Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi trong một ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi. Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất hai câu đã thuộc.
Ý b
(0,5 điểm
Lấy ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ ngân hàng đề để lập một đề thi, có 4
15 1365
C = đề thi Bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề có 2 câu đã thuộc, có 2 2
8 7 588
C C = cách 0,25
Bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề có 3 câu đã thuộc, có 3 1
8 7 392
C C = cách Bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề có 4 câu đã thuộc, có 4
8 70
C = cách Vậy xác suất cần tìm là: 588 392 70 10
0,25
5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :2x+3y+ -z 11= 0 và mặt
S x +y +z - x+ y- z - = . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với
mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
1,0
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2;1 - ) , bán kính R = 14 . 0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 5( ) ( , ) 2 6 1 11 14
14
d I P = - + - = =R Þ mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H (H là
hình chiếu vuông góc của I trên (P)).
0,25
Giả sử H(x;y;z) .Ta có IH uuur
cùng phương với vtpt của mp(P) nên
( )
P
1 2
2 3
1 3;1; 2
1
x y z
= +
ì
ï = - +
ï
Þ = Þ
í
= +
ï
ï + + - =
î
.
Vậy tiếp điểm của (P) và (S) là H ( 3; 2;1 ) .
0,25
6
+ Xác định góc giữa (AB'C') và mặt đáy là · ' AKA · 0
' 60 AKA
Tính A'K = 1 ' '
a
A C = Þ ' ' tan 60 0 3
2
a
3 ' ' '
3
=AA'.S
8 ABC A B C ABC
a
0,5
+) Vì BC//(AB’C’) nên d(BC;(AB'C'))= d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C'))
Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C')
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK Þ A'H ^ (AB'C')
Þ d(A';(AB'C')) = A'H
Tính: A'H = 3
4
a
Vậy d(B;(AB'C')) = 3
4
a
0,5
Câu 7
(1điểm)
Tìm toạ độ …
· Ta thấy tứ giác BMHN nội tiếp
Suy ra I là trung điểm của BH;
0,25
N
A
H
K
C' B'
A'
C
B
A
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 6(2 2 ; )
BÎdÞB - t t
Suy ra H(2+2 ;t - Þt) uuurAH =(3 2 ;+ t - -t 4),uuur BP=(2t- - - 1; t 2)
Do H là trực tâm của tam giác ABC
2
5t 10t 5 0 t 1
Suy ra H(0;1), (4; 1),B - uuur AH =(1; 3) -
,đường thẳng BC x: -3y - = 7 0 0,25
Đường thẳng AC: 2x - + = Tìm được toạ độ ( 5; 4) y 6 0 C - -
KL…
0,25
Câ
u 8
Giải phương trình: 2
(1)
ì
í
ï
î
Điể
m
ĐK
0
0
0
0
x
x
y
y
x y
³
ì
³
ì
ï
³
î
î
Nếu y=0 thì
2
(1)
2
Û + = (vô lý) Tương tự x=0 không thỏa mãn, vậy x,y > 0.
Đặt x=ty t , > 0 , phương trình đầu trở thành:
2
( t+1) +t+ 2t-1 = 1+ t t (2 - 1) (1’)
0,25
Ta có
2
2 1 2 2 2 1 (2 1) 2 2 1 1 ( 2 1 1)
t+ t- = t+ t- = t- + t- + = t - +
( t 1) ( 2t 1 1) 1 t t(2 1) ( t 1) ( 2t 1 1) 1 t t (2 1)
2 1
a t
a b
ì =
ï
>
í
= -
ï
î
, (2) (2) 1 2 1 2 1 (*)
(1 a) (1 b) 1 ab
Bổ đề : 1 2 1 2 1
(1+a) +(1+b) ³ 1 + ab
Áp dụng BĐT CauchySchawarz ta có:
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 7( )( ) 2 2
2
2
b
ab a b
b a b
³
Cộng vế với vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra Ûa= b
(*)Û t = 2t- Û = Û1 t 1 x= y
0.25
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2)
4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 2(x 4) 3 ( 6) 2 1
3( 2) 2(x 4) 3 ( 6) 2 1
x
ï
ï
-
î
( Do đk x ³ 3 nên x2 > 0)
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2) (5)
2 7 28
3
ï
ï
î
Cộng vế với vế (5) và (6) ta được:
2
2
3
é
ë
Vậy hpt đã cho có tập nghiệm T={(4;4),(6;6)}
0,25
9 Cho ba số thực , , a b c thỏa mãn a>2,b>0,c > Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 0
2 2 2
( 1)( 1)( 1)
P
1,0
Đặt a1=a- Þ2 a 1 > Khi đó: 0
2 2 2
1
1
P
Ta có:
a +b +c + ³ + + + ³ a + + + b c
Dấu " "= Ûa1 =b= = c 1
Ta lại có
1
Dấu " "= Ûa1 =b= = c 1
0,25
P
+ + + + + + . Dấu " "= Ûa1 =b= = c 1 Đặt t=a1 + + + Þ > Khi đó b c 1 t 1 1 27 3
( 2)
P
t t
£ -
+ , t > 1 .
0,25
Xét hàm ( ) 1 27 3 , 1
( 2)
t t
'( )
( 2)
f t
t t
= - +
+ ;
f t = Û t+ = t Ût - t+ = Û = ( Do t t > 1 ).
lim ( ) 0
t f t
®+¥ =
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 8t 1 4 +¥
( )
'
f t + 0
( )
f t
1
8
Từ bảng biến thiên ta có
1
8
f t = f = Û = t
RFFFF
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1
8 , đạt được khi ( a b c = ; ; ) ( 3;1;1 ) .
0,25
HẾT
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
