Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt đường tròn lần lượt tại các điểm.. Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm.. Chứng minh rằng tứ giác nộ
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm).
1 Cho Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2 Cho biểu thức
Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng:
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ
đường tròn có tâm là điểm X) Giả sử tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại Tiếp tuyến của đường tròn
tại điểm I cắt đường tròn lần lượt tại các điểm Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm ,
đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm
1 Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với đường thẳng
2 Kẻ đường kính của đường tròn sao cho vuông góc với (điểm nằm trên cung không chứa điểm ) Chứng minh rằng nếu không song song thì các đường thẳng và đồng
quy
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,
đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm
của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
1 3 3
x
f x
x x
=
− +
A= f + f + + f + f
2
1
P
x
(x y; )
6
, , ,
a b c d
2012
abc bcd cda dab a b c d+ + + = + + + +
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
a + b + c + d + ≥
( ) ( )O1( ) ( ), O X O2
( ) ( )O1 , O2
( ) ( )O M M1A A( ) ( )AM( )AM( ) ( )1O N O O, , 'N O O,1 1 2 2 1 12O2 2
1 1 2 2
M N N M N N OA1 2
PQ
( )PQ AI O P
¼
1
AM1M, 2 2
PM AI PM QM, QM2 1
Trang 2——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
1 1 1,5 điểm
Nhận xét Nếu thì
Thật vậy, ta
có
0,5
suy ra
Vậy, nhận xét được chứng minh
Ta có
0,5
Theo nhận xét trên ta có:
0,5
2 1,5 điểm
Điều kiện: Khi đó ta có
Rút gọn biểu thức ta được 0,5
Ta có , ta coi đây là phương trình bậc hai của Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có 0,5
Do P nguyên nên bằng 0 hoặc 1
+) Nếu không thỏa mãn
+) Nếu không thỏa mãn
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn
0,5
Nếu phương trình
Với thay vào phương trình ban đầu ta được:
suy ra phương trình có nghiệm
0,5
Với thay vào phương trình ban đầu ta được:
phương trình này
0,5
1
x y+ =
f x + f y =
( )
3 3
1 1
x x
−
3 3
1
x x
f x f y f x f x
−
1 1
2 2
f = ÷
2012 2012 2012 2012
1005 1005,5
0, 1
x> x≠
2 1
x P
x x
+
=
Px P+( = ⇒ −P0−)2P≠x x x P0x+ − =(− =2 0)
1
P−
0
P
P
=
x y≥ + ⇒ + > − + ≥ ⇒⇒ ≤ + < + − ⇒ <2 x y⇒ ∈x y x x y< +x y {1; 2}66 x y x 3
1
x=
y+ = y+ ⇔(x y; y−) =(1; 3)y + y+ = ⇔ =y
2
x=
y+ = y+ ⇔y≥y1 + y + y− =
Trang 3vô nghiệm do
Vậy phương trình đã cho có
nghiệm
Ta có: 0,5
0,5
Suy ra
0,5
4
1 2,0 điểm
+) Ta có đồng dạng
suy ra hay tứ giác nội tiếp 0,5 +) Ta có và tam giác cân
tại nên
0,5
Do đó ta được 0,5
(x y; ) =(1; 3)
2012= abc bcd cda dab a b c d+ + + − − − −
(a b2 2 a2 b2 1) (c d2 2 c2 d2 1) (a2 1) (b2 1) (c2 1) (d2 1)
(a2+1) (b2+1) (c2+1) (d2+ ≥1) 2012
S
2
O
Q P
A'
A
2
AM AN =∆∆AM AN AM M AN N12 21 =AI ⇒
AN N =AM M M N N M⇒1M N N1 2 2 +AM M =
AN N =· AM M
1
1
2AOM
1
180 2
AOM
M AO= −
AN N +M AO= ⇒OA⊥N N
Trang 42 1,0 điểm
Gọi là giao điểm của và
Ta có thẳng hàng và song song với (1) Mặt khác tam giác cân tại , tam giác cân tại và kết hợp với (1) ta được suy ra thẳng hàng
Tương tự ta có thẳng hàng
0,5
Do là đường kính của đường tròn suy ra
là trực tâm của tam giác suy
ra đi qua hay ba đường thẳng đồng quy
0,5
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo
thành một tam giác cân
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả
năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có
màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân
0,5
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng
màu và tạo thành một tam giác cân
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh
được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu
0,5
S 1
PM2 QM
, ,
O O M O I OP2
IO M POM
⇒· O IM OPM2O O2=·22
O IM Q I M P I M, , , ,=OPM21
PQ
( )O
PM Q PM Q= =
I
⇒
SPQ AI S1 2
, ,
AI PM QM