Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc bằng 60o.. a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho.. b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC.. Lập phương trình mặt phẳng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 21/03/2014
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang, gồm có 5 câu
Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
y m x mx m x có đồ thị (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1
2 Tìm m để đường thẳng d: y = - 2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; -2), B và
C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3cos 4 x 2 sin2x 2 0
2 Giải hệ phương trình: x x 8 y x y y
Câu III (4,0 điểm)
1 Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1 và m + n + p = 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m
2 Giải phương trình 2 3
log x 1 2 log 4 x log 4 x
Câu IV (4,0 điểm)
1 Tìm hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2
(x 2)n, biết: 3 2 1
n n n
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0
và đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0 Gọi I là giao điểm của (d) và (d') Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc
bằng 60o
Câu V (4,0 điểm)
1 Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a,
góc o
BAD60 Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a
a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho
b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính giá trị cos BMD
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(2;0;6),
C(3;2;0) , D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều
C, D
……… HẾT………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Số báo danh
Trang 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ( Đề chính thức )
Lớp 12 BỔ TÚC THPT
Ngày thi: 21/03/2014 Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang
Khi m = 1
yx x x
TXĐ: D = R
3 2
3
x
x
0,50
BBT:
x - 1 3 +
y/ + 0 - 0 +
2 +
y
- -2
0,50
Hàm số đồng biến: (-; 1),(3;+ ) Hàm số nghịch biến: (1;3)
fCĐ = f(1) = 2
fCT = f(3) = -2 Khi y’’ =6x-12=0 x2=>y=0 Khi x=0=>y=-2
x= 4=>y=2
Đồ thị hàm số nhận I(2;0) là tâm đối xứng
0,50
0,50
2 Tìm m để đường thẳng d: y= - 2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;-2), B và
Phương trình hoành độ giao điểm là:
3 2
2m x 6mx 9 2m x 2 2
3 2
2
2
0
x
0,50
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt A(0;-2), B và C vậy phương trình (2)
có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ta có điều kiện:
2
2
1
2
m
m m
Gọi tọa độ điểm B(xB; -2), C(xC; -2) Đk: xB xC (xB; xC là hai nghiệm của phương trình (2))
0,50
Trang 3Gọi h là khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d: y + 2 = 0 => h = 2
Theo bài ra ta có
2
1
2
Theo định lý viét ta có:
6 2 9
B C
B C
m
m
x x
(4)
Thay (4) vào (3) ta được:
6
2
14
m m
m
m
(tm)
0,50
0,50
3cos 4 x 2 sin x 2 0 (2,0 điểm)
0,50
2
6cos 2 x cos 2 x 2 0
1 cos 2
2 2 cos 2
3
x x
arccos( )
6
là nghiệm
0,50
0,50
2
Giải hệ phương trình: x x 8 y x y y
x y 5
(x y ; R) (2,0 điểm)
ĐK: x 0; y 0
0,50
Hệ phương trình tương đương với:
x 1 (x 1) x (y 8) y
x(x 1) y(y 8)
0,75
2
x 1
x 1
x 9
y x 5
y x 5
y 4 5
3x 22x 45 0 x 9; x
3
0,50
Từ đó, hệ có nghiệm duy nhất: x 9
y 4
1 Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1 và m + n + p = 5 Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m
(2,0 điểm)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
a.m b.n c.p (a b c )(m n p ) m n p
Aa.m b.n c.p m.n n.p p.m m.n n.p p.m m2n2p2 0,50
Trang 4Đặt: m.n + n.p + p.m = t
Ta có: m.n n.p p.m 1(m n p)2 25
3
Và: m2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t 0,50 Vậy A 25 2t t f (t)
Ta có: f (t) 1 1 0, t 25
3
25 2t
f(t) tăng trên ;25
3
25 25 5 25 5 3
A f (t) f
Đẳng thức xảy ra khi:
5
3 1
3
Vậy: max A 25 5 3
3
3
và a b c 1
3
0,50
2
log x1 2 log 4x log 4 x (2,0 điểm)
Điều kiện:
1 0
1
x
x x
x x
0,50
2
(2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16
log 4 1 log 16 4 1 16
+ Với 1 x4 ta có phương trình 2
x x
2 6
x x
+ Với 4 x 1 ta có phương trình 2
4 20 0
x x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2hoặc x 2 1 6
0,50
1
Tìm hệ số của 8
x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2
(x 2)n, biết :
An3 8 Cn2 C1n 49, ( n N n , 3) .
(2,0 điểm)
8 ( 1)
2
n n
Khi đó:
7
7 0
( 2)n ( 2) k k 2k
k
0,50
Số hạng chứa x8 là 2(7k) 8 k3
0,25
Hệ số của 8
x là 3 3
7.2 280
0,50
Trang 52 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0 và
đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0 Gọi I là giao điểm của (d) và (d') Viết
phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc bằng 60o (2,0 điểm)
3 x
7 14
14
Gọi là đường thẳng cần tìm, n (A; B)
(A2 + B2 > 0) là véc-tơ pháp tuyến của
Khi đó, do Ox có véc-tơ pháp tuyến j(0;1)
nên từ giả thiết bài toán ta có:
o
2 2
| B | 1
cos 60 cos n; j
A2 + B2 = 4B2 A2 = 3B2
0,50
Với A = 3, B 3 Phương trình : 3 x 3 3 y 83 0
Với A = 3, B 3 Phương trình : 3 x 3 3 y 83 0
Vậy, có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán:
1: 42x 14 3y 18 83 3 0, 2: 42x 14 3y 18 83 3 0
0,25
0.50
1 Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a, góc
o BAD60 Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a
a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho
b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính giá trị cos BMD
(2,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra SAC cân, SBD đều cạnh bằng a
Gọi H = AC BD SH là đường cao của hình chóp S.ABCD
0.50
Trang 6Ta có: SH a 3; SABCD a sin 602 0 a 3
Do đó: V 1SABCD.SH a3
0.50
MBD cân tại M, MH là đường phân giác của góc BMD
Đặt BMD 2
Trong SAC, MH là đường trung bình MH SA
2
a 3
2
SHA vuông cân tại H SA a 3 MH a 3
0.50
Trong BMH ta có tan tan BMH BH 2
Từ đó: cos2 1 2 9 cos 2 2 cos2 1 1
1 tan
Vậy: cos BMD 1
5
0.50
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;1); B(2;0;6);
C(3;2;0) ; D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều
C, D
(2,0 điểm)
+ Nếu C, D nằm cùng phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi CD//(P)
, ( 12;18;6) (2; 3; 1) )
2
; 2
; 4 ( ), 5
; 1
; 1
Pt (P) là 2(x1)3(y1)1(z1)02x3yz20 0,50 + Nếu C,D nằm khác phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi (P) đi qua trung
điểm M(5;3;1) cuả CD
, ( 10;20;6) ( 5;10;3) )
0
; 2
; 4 ( ), 5
; 1
; 1
0,50
PT(P) là 5(x1)10(y1)3(z1)05x10y 3z80
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2x – 3y – z + 2 = 0 và 5x – 10y - 3z + 8 = 0
0,50
- Hết - Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn