Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số.. Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE CAF , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đư
Trang 1UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm)
Giải phương trình: 2 2 2 2sin 2
Bài 2 (4 điểm).
Cho dãy số u xác định bởi n
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số n
Bài 3 (4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE CAF
, gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D Chứng minh rằng tứ giác AMDN
và tam giác ABC có diện tích bằng nhau
Bài 4 (4 điểm)
Cho tập hợp A1;2;3; ;18 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2
Bài 5 (4 điểm).
Cho các số dương a b c, , thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
12 12 12 3
Hết
-Họ và tên : Số báo danh :
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
MÔN: TOÁN
Trang 2NĂM HỌC: 2011 - 2012
Điểm Bài 1 Giải phương trình: tan2x cot 22 x 2 2sin 2 x
Lời giải : Điều kiện :
x x
Ta có :
2
Do đó phương trình đã cho tương đương với :
2 2 sin 2x 2 sin 2 x
sin 2x 1 2 sin 2 x 2 0
2 sin 2
2
x x
1 sin 2
2
x x
( Thỏa điều kiện (1) ) Giải các phương trình trên ta được :
x k x k x k k Z
1đ
1 đ
1 đ
1 đ
Bài 2 Cho dãy số u xác định bởi n
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số n
Lời giải: Đặt x n 1 2 u n n N*
Ta có x và n 0 x n2 1 2 ,u n n N* hay
2
n n
x
u Thay vào giả thiết, ta được:
1
4 4
n
x
1
3x n x n 4 n N ( Do x n 0 , n N*)
1
1 đ
1 đ
Trang 3Đặt 3n , *
y y n N
n
n
n
x y y
1
1
3
x n N
u n N
1 đ
1 đ Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc
BAE CAF , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các
đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC tại D Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện
tích bằng nhau
Lời giải:
Đặt BAE CAF , EAF .Tacó
ABC
S AB AF AC AF
4
AF
AB CD AC BD R
(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
AMDN
S AM AD AD AN
2AD AF AF
AF
R
0,5đ
1,5 đ
N M
D
O A
Trang 4Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta
có : AB.CD + AC.BD = AD.BC (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
1,5 đ
0,5 đ
Bài 4
Cho tập hợp A1;2;3; ;18 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong
tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2
Lời giải: Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:
T (a ,a , ,a ) : a a a ; 1 a 18; a a 2
Xét tập hợp H(b ,b , ,b ) : b1 2 5 1b2 b ; 1 b 5 i 14
Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a ,a , ,a ) với bộ 1 2 5 (b ,b , ,b ) 1 2 5
xác định như sau:
Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T H
Mặt khác mỗi bộ (b ,b , ,b ) trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 1 2 5
phần tử Do đó H C145 2002 Vậy T 2002
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Bài 5 Cho các số dương a b c, , thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
12 12 12 3
Lời giải: Bất đẳng thức trên tương đương với:
3
Bây giờ ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho các mẫu thức:
1 1 1
a b b c c a
3
3 2
ab bc ca
3
a b c
ab bc ca
Trang 6Đặt BAE CAF , EAF
ABC
4
AF
AB CD AC BD R
(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
AMDN
S AM AD AD AN =
=1 .cos .sin cos sin
2 AD AF AF
1
AF
R
N M
D
O A
Trang 7Vì tứ giác AMDN nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh