Lý thuyết perron - frobenius cho chùm ma trận (LV01099)

Động lực của các hệ trên được đặc trưng bởi các giá trị riêng và các véctơ riêng của chùm ma trận E A  hay cặp ma trận E A.. ,  Nhằm ứng dụng vào các bài toán mới, trong đó có bài to

    được gọi là ma trận khụng õm và kớ hiệu A0

nếu mọi phần tử của ma trận A đều khụng õm

Định lớ Perron-Frobenius núi rằng, bỏn kớnh phổ (giỏ trị lớn nhất của cỏc giỏ trị tuyệt đối của giỏ trị riờng của ma trận) của ma trận với cỏc phần tử khụng

õm tự nú là giỏ trị riờng và cú vộctơ riờng tương ứng cú thể chọn là vộctơ khụng õm Cụ thể hơn, ta cú thể phỏt biểu Định lớ Perron-Frobenius như sau

Định lớ Perron-Frobenius Giả sử A0 cú bỏn kớnh phổ  A Khi ấy

 A

(irreducible), thỡ  A đơn ( A là nghiệm đơn của phương trỡnh đặc trưng của ma trận A ) và A cú vộctơ riờng v khụng tương ứng với  A

Định lớ này cú rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toỏn học, khoa học, kĩ thuật, kinh tế, trong đú cú cỏc bài toỏn mụ tả bởi cỏc hệ động lực Nhiều hệ động lực trong thực tế được mụ tả bởi hệ hệ phương trỡnh sai phõn

Ex   Ax  f cho trướcx hoặc phương trỡnh vi phõn ẩn (thường được gọi là phương trỡnh vi phõn đại số - Differential Algebraic Equation - DAE) tuyến tớnh với hệ số hằng, tức là hệ phương trỡnh

Động lực của các hệ trên được đặc trưng bởi các giá trị riêng và các véctơ

riêng của chùm ma trận E A  (hay cặp ma trận E A ) , 

Nhằm ứng dụng vào các bài toán mới, trong đó có bài toán giải hệ phương trình vi phân đại số, Định lí Perron-Frobenius đã được mở rộng cho chùm ma trận và cho dãy các ma trận

Luận văn này trình bày một số mở rộng của Định lí Perron-Frobenius cổ điển cho cặp ma trận (hay còn gọi là chùm ma trận) E A và một số mở rộng , 

khác Trường hợp đặc biệt E I, trong đó I là ma trận đơn vị cũng được

quan tâm Luận văn cũng trình một số ví dụ minh họa

2 Mục đích nghiên cứu

Lý thuyết Perron-Frobenius cho chùm ma trận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Định lí Perron-Frobenius cổ điển

- Mở rộng Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết Perron-Frobenius

- Phạm vi nghiên cứu: Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc, tìm hiểu, phân tích và tổng hợp các kiến thức trong sách, báo;

- Sử dụng các phương pháp của giải tích, đại số tuyến tính, giải tích hàm

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Hy vọng luận văn là một Tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về lí thuyết Perron-Frobenius

Chương 1 ĐỊNH LÍ PERRON-FROBENIUS CỔ ĐIỂN

1.1 Bài toán giá trị riêng

Định nghĩa 1.1.1 Cho A là ma trận vuông cỡ n n gồm các phần tử là các số thực Giá trị  (thực hay phức) sao cho tồn tại véctơ x0 thỏa mãn phương trình AI x 0 được gọi là giá trị riêng của ma trận A, và x được gọi là

Bài toán tìm x và  thỏa mãn phương trình AI x 0 được gọi là bài

toán giá trị riêng

n n

được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A

Nhận xét 1.1.1 Các nghiệm của đa thức đặc trưng P A  là các giá trị riêng của ma trận A

Thật vậy, theo định nghĩa  là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi

phương trình AI x 0 có nghiệm x0 Mà hệ phương trình trên có

nghiệm x0 khi và chỉ khi detAI0 hay P A  0, hay  là nghiệm của đa thức đặc trưng P A  (điều phải chứng minh)

Nếu 0 là một giá trị riêng của ma trận A thì detA0I0 Do đó hệ phương trình thuần nhất

có vô số nghiệm Các véctơ x0 là nghiệm của 1.1.1 là các véctơ riêng 

của ma trận A tương ứng với giá trị riêng 0 Các nghiệm của hệ phương trình 1.1.1 tạo thành một không gian véctơ và được gọi là không gian con 

tính tạo thành cơ sở của không gian con riêng được gọi là các véctơ riêng độc

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số tự do x2, .x3

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là  a b a b, , , trong đó a b, 

Các véctơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 1 1 là tất cả các véctơ trong 3 có dạng   2 2

1.2 Định lí Perron-Frobenius cổ điển

Định nghĩa 1.2.1 Ma trận n n

P  có được bằng cách hoán vị các hàng (và/hoặc các cột) của một ma trận đơn vị cỡ n n được gọi là ma trận hoán vị

(permutation matrix)

Như vậy ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà mỗi hàng và cột chỉ có một phần tử có giá trị là 1, các phần tử còn lại có giá trị 0

Định nghĩa 1.2.2 (xem [7]) Ma trận n n

A  được gọi là ma trận khả quy

(reducible) nếu tồn tại ma trận hoán vị P sao cho 11 12

22

,0

Định nghĩa 1.2.4 Ma trận A với các hệ số là những số thực được gọi là ma

1 A có một giá trị riêng thực không âm có giá trị đúng bằng bán kính phổ

 A ;



Để chứng minh định lí này trước hết ta chứng minh một số kết quả sau:

Bổ đề 1.2.1 Giả sử A0 là ma trận vuông cấp n n , bất khả quy Khi ấy

0

n

I A  

n

c c Cx

Tương tự, ta chọn lần lượt các véctơ x i i, 1, 2, ,n có phần tử thứ i bằng 1,

các phần tử còn lại bằng không, khi đó ta cũng chỉ ra được các phần tử trên

cột thứ i tương ứng của ma trận C đều dương

I A  x với mỗi x0, x0 như sau

Định nghĩa dãy các véctơ

Hơn nữa, ta chỉ ra được rằng số thành phần bằng không của x k1 luôn ít hơn

số thành phần bằng không của x k

Thật vậy, trước hết ta chứng minh x1 có số thành phần bằng không ít hơn số thành phần bằng không của x

Giả sử phản chứng rằng x1 và x có số tọa độ bằng không là bằng nhau Bằng

phương pháp hoán vị dòng ta luôn viết được x về dạng ,

Theo giả thiết ban đầu A0 nên A11, A210, z0, do đó A z21 0, A z11 0

và z A z11 0 Mà theo giả thiết phản chứng số thành phần bằng không của 1

x bằng số thành phần bằng không của x nên A z21 0, hay

   Có nghĩa là A21 0, điều này mâu thuẫn

với điều kiện A bất khả quy

Lập luận tương tự, ta chứng minh được x k1 có số thành phần bằng không ít hơn số thành phần bằng không của x k với mọi k1, 2, ,n2

Do đó, x0  x có tối đa n1 tọa độ bằng không, thì x k có không quá

1 0

i

n

ij j j

x x

i

a x r

Thật vậy, giả sử 0 thỏa mãn Axx và  r x Khi đó x r x x Theo

định nghĩa r x, tồn tại chỉ số i0 sao cho

x

i

a x r

j i

Suy ra xAx mâu thuẫn với giả thiết Vậy r x   với mọi 0 thỏa mãn

Axx và r x cũng thỏa mãn Axr x x nên r x bằng supremum của tập hợp tất

Theo kết quả của Bổ đề 1.2.1 tập hợp Q chỉ gồm các phần tử là các véctơ dương

Nhân hai vế của biểu thức Axr x x với   1

hay Ayr y x Điều đó có nghĩa là r y r x

Vì ta cũng có ry r y với mọi số  bất kì Nên ta cũng có thể định nghĩa r

Vì S là một tập compact và Q cũng là tập compact nên r là một hàm số liên y

tục trên Q, do đó tồn tại một véctơ dương z sao cho r z r hay Azrz và

không tồn tại véctơ w nào khác z thỏa mãn Awrw Vì nếu tồn tại w sao

cho Awrw Khi đó, ta có Awr w w và Aw rwr w z , suy ra r w r Mặt

I  A  A A I A 

khác, w khác z do vậy Awr w z tương đương với r w  r z r Điều này mâu thuẫn với định nghĩa r

Ta gọi véctơ z sao cho Azrz và không tồn tại véctơ w nào khác z thỏa

Cho A0 là ma trận vuông n n bất khả quy, và B là ma trận vuông cỡ

,

Vậy (1.2.2) được chứng minh

Nếu  r thì y là véctơ cực trị, theo Bổ đề 1.2.2 y là một véctơ riêng dương của A tương ứng với giá trị riêng r

Rõ ràng, các tọa độ đường chéo của D có môđun bằng 1 và yD y Thay giá trị riêng  re i, ta được

Từ đó, suy ra CRe C  C  A, có nghĩa là Be DAD i 1

Ngược lại, nếu 1

,

i

đó là điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.1 Nếu A0 là ma trận vuông n n bất khả quy, giá trị riêng

Hệ quả 1.2.2 Nếu A0 là ma trận vuông cỡ n n không suy biến và B là

Chứng minh Vì B là ma trận con chính vuông của A, tồn tại một phép hoán

Xét Định lí 1.2.2, thay ma trận C cho ma trận B được  B  C  A

(điều phải chứng minh)

Chứng minh định lí Perron-Frobenius

1 A có một giá trị riêng dương đúng bằng bán kính phổ  A

Chứng minh Kết quả được lấy từ Hệ quả 1.2.1

2  A có véctơ riêng tương ứng x0

Chứng minh Kết quả được lấy từ Bổ đề 1.2.2

3  A tăng khi mỗi thành phần của ma trận A tăng

Chứng minh Giả sử ta tăng một số thành phần của ma trận A được một ma

trận mới bất khả quy ,A trong đó A  A và A  A Theo kết quả của Định lí 1.2.2 ta có  A   A

4  A là một giá trị riêng đơn của A

Chứng minh Ta sử dụng tính chất của đa thức  t dettI  A

trận A Theo Bổ đề 1.2.2,  A i  A , có nghĩa là dettI A i không triệt tiêu với mỗi giá trị t  A Do đó, det A I A i0 và suy ra hệ thức

5 Véctơ x duy nhất theo nghĩa sai khác một đại lượng vô hướng

Chứng minh Với điều kiện đã cho, giả sử rằng tồn tại một véctơ riêng

Từ đó suy ra r z  A , điều này mâu thuẫn với tính chất của  A Vậy x

là duy nhất (điều phải chứng minh)

Chương 2 ĐỊNH LÍ PERRON-FROBENIUS MỞ RỘNG

CHO CHÙM MA TRẬN

2.1 Một số khái niệm liên quan

2.1.1 Bài toán giá trị riêng suy rộng

Định nghĩa 2.1.1 Cho là hai ma trận vuông cỡ n n gồm các số thực Chùm

ma trận E A  (hay cặp ma trận E A ) được gọi là chùm ma trận chính , 

Ngược lại, nếu detEA0 với mọi giá trị  thì ta nói chùm ma trận

  suy biến

Trong nội dung luận văn này chỉ xét chùm ma trận vuông chính quy

Một số  thực hoặc phức được gọi là giá trị riêng (suy rộng) của cặp ma trận

E A nếu ,  detEA0 Véctơ xn \ 0  sao cho E A x 0 được

gọi là véctơ riêng (suy rộng) của cặp ma trận E A tương ứng với giá trị , 

riêng 

Nếu E là ma trận suy biến và xn \ 0  sao cho Ex0 thì x được gọi là

Bài toán tìm x và  thỏa mãn phương trình

Vậy tất cả các véctơ có dạng xa,a, a0 là véctơ riêng của E A , 

tương ứng với giá trị riêng  0

Do đó, tất cả các véctơ có dạng x a a, , a0 là véctơ riêng của E A , 

tương ứng với giá trị riêng 1

Định nghĩa 2.1.2 Tập hợp tất cả các giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận

E A được gọi là phổ hữu hạn của ,  E A và kí hiệu là ,  f E A,  Tập hợp tất cả các giá trị riêng của E A được gọi là phổ của ,  E A kí hiệu là , ,

f f

E A

Trong trường hợp E khả nghịch, ta kí hiệu E A,  là bán kính phổ của

kính phổ hữu hạn của E A Các véctơ ,  x x1, 2, ,x k tạo thành xích Jordan của

cặp E A tương ứng với giá trị riêng ,   nếu E A x i  Ex i1,   1 i k

và x0 0

Định nghĩa 2.1.3 Không gian con def n

S  có số chiều k được gọi là không

k chiều W n sao cho ESdef W và ASdef W Giả sử  1, 2, ,p là các giá trị riêng hữu hạn khác nhau từng đôi một của E A và ,  , 1,2, ,

S S  S 2.1.2 

( là kí hiệu tích tenxơ) được gọi là không gian con hạ cấp phải hữu hạn của

E A , 

Định nghĩa 2.1.4 Hai cặp ma trận E A và ,   E A , được gọi là tương đương

nếu tồn tại các ma trận chính quy W và T sao cho

Khi đó ta viết E A,   E A,

Định nghĩa 2.1.5 Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa Jordan được

nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho

1 1

0,

i i i

Ma trận J trong định nghĩa trên được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của

ma trận A (hay ma trận dạng Jordan của A)

Định nghĩa 2.1.6 Ma trận N được gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số tự

nhiên n sao cho N n 0

Định lí 2.1.1 (dạng chính tắc Weierstrass [6]) Nếu E A là cặp ma trận , 

chính quy thì

Bổ đề 2.1.1 (xem [4]) Cho E A là cặp ma trận chính quy, ,   được chọn sao

cho E A không suy biến thì ma trận    1

E  EA  E và    1

A EA  A

giao hoán (commute), có nghĩa là EAˆˆ  AEˆ ˆ

2.1.2 Toán tử chiếu ( phép chiếu) và chỉ số của cặp ma trận E A , 

Định nghĩa 2.1.7 Một ma trận Q được gọi là phép chiếu nếu Q2 Q Một phép chiếu Q được gọi là phép chiếu lên (onto) không gian con S của n

nếu imQS. Ta gọi phép chiếu đó là phép chiếu dọc (along) theo S nếu

Thật vậy, giả sử P x2  P P x1 2 , tương đương với P x2 P P x1 2  0 Khi đó

do đó P P1, 2 là hai phép chiếu lên không gian con S

2 "" Giả sử Q1 I P1 và Q2  I P2 Khi đó Q1 và Q2 là các phép chiếu lên S Thật vậy,

suy ra imQ1 S, nói cách khác Q1 là phép chiếu lên S

Hoàn toàn tương tự, ta có Q2 là phép chiếu lên S

Định nghĩa 2.1.8 Giả sử E A là cặp ma trận chính quy Định nghĩa dãy ma , 

trong đó Q là phép chiếu lên i kerE i, và Pi  I Qi

Theo giả thiết E A là cặp ma trận chính quy nên tồn tại một số ,   sao cho

E là ma trận không suy biến và mọi E i đều là các ma trận suy biến với mỗi

i

Ta nhận xét rằng số  không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu Q i Ta nói cặp ma trận E A có ,  chỉ số mềm (tractability) và kí hiệu là ind E A , .Như vậy, nếu E A là cặp ma trận chính quy thì chỉ số mềm của nó được , 

xác định bằng số chiều của khối Jordan lớn nhất tương ứng với giá trị riêng

vô hạn trong dạng chính tắc Weierstrass của cặp ma trận E A , 

Sau này ta quy ước chỉ gọi là chỉ số của E A thay cho gọi là chỉ số mềm , 

của E A , 

Bổ đề 2.1.3 Cho cặp ma trận E A và dãy các ma trận định nghĩa bởi hệ , 

i i i i

Q  Q E A 

là phép chiếu lên ker dọc theo E S i

Bổ đề 2.1.4 Cho E A là cặp ma trận chính quy, ,  ind A E ,  và cho dãy

chọn sao cho Q Q j i 0, với mọi 0   i j  1. Với mỗi 0  i  1 ta định nghĩa phép chiếu Q i lên kerE i bằng cách đặt Q i  Q E Ai i11 i và P i  I Q i

Khi đó, Q Q j i 0, đối với mọi 0   i j  1

Tiếp theo ta chứng minh Q Q j i 0,     0 i j  1.

Chọn các số độc lập i j, tùy ý     0 i j  1 Khi đó, theo kết quả của biến đổi trên ta có

0

Vậy Q Q j i 0, i j, sao cho 0   i j v 1 (điều phải chứng minh)

Chú ý Từ định nghĩa và Bổ đề 2.1.3, ta có Q1 là phép chiếu lên kerE1 dọc theo S1 Phép chiếu Q1 được gọi là phép chiếu chính tắc

2 2 Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận

Trong một số tài liệu đã chứng minh được điều kiện   1

0

EA  A là điều kiện đủ tồn tại một giá trị riêng  0,1 của cặp ma trận E A và véctơ , ,riêng tương ứng với nó không âm Cũng có tài liệu mở rộng điều kiện đủ tồn tại một giá trị riêng dương và véctơ riêng tương ứng với giá trị riêng đó không

âm của ma trận A, y 0 Ay0 trở thành điều kiện E y T  0 A y T 0cho chùm ma trận E A , 

Luận văn trình bày một mở rộng khác, dùng phép chiếu làm cơ sở để mở rộng Định lí Perron-Frobenius cho cặp ma trận E A Trong mục 2.2.1 trình bày , .

mở rộng Định lí cho chùm ma trận có chỉ số không vượt quá một Trong đó, điều kiện đủ để tồn tại một giá trị riêng có véctơ riêng tương ứng không âm của chùm ma trận được nêu trong Định lí 2.2.1 dễ thực hiện hơn hai điều kiện nêu trên (  1

0

EA  A hoặc E y T  0 A y T 0) Tương tự, Mục 2.2.2 luận văn trình bày mở rộng của Định lí trong trường hợp chùm ma trận có chỉ

số tùy ý Cuối cùng thì chúng ta có thể thấy Định lí Perron-Frobenius cổ điển chỉ là trường hợp đặc biệt của Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận khi

Cho E A với ,, , E An n , là cặp ma trận chính quy có indE A, 1. Giả

thì bán kính phổ hữu hạn fE A,  là một giá trị riêng của cặp ma trận