Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm (LV00950)

40 Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian l2 ..... Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu luôn ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Tác giả xin được bày tỏ long biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao

để hoàn thành luận văn của minh

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và long biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Hà nội, tháng 7 năm 2013

Học viên Trần Quốc Việt

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riên tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà nội, tháng 7 năm 2013

Học viên Trần Quốc Việt

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 03

1.1 Không gian metric 03

1.2 Nguyên lý ánh xạ co 07

1.3 Không gian Banach 09

1.4 Không gian Hilbert 12

1.5 Toán tử đơn điệu 13

Chương 2 : Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu 20

2.1 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 20

2.2 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach 24

2.3 Áp dụng giải phương trình toán tử trong không gian l2 32

2.4 Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến 40

Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian l2 46

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

x Ax f Vì trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính

chất gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn

đề mà nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề cập đến

Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu luôn phụ thuộc vào không gian hàm chứa miền xác định của toán tử, hơn nữa việc xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ là việc rất cần thiết trong giải xấp xỉ phương trình toán tử Bởi vậy tôi chọn đề tài là “Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết giải xấp xỉ phương trình toán tử trong các không gian hàm và một số ứng dụng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đề ra nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian hàm cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn diệu trong không gian Banach và Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu dã có, từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan đến đề tài

6 Đóng góp mới của luận văn

Giải xấp xỉ phương trình toán tử theo phương pháp thác triển theo tham

số trên máy tính

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric

1.1.1 Định nghĩa không gian metric

Sau này ta viết X thay cho ( , )X d

1.1.2 Hình cầu, lân cận trong không gian metric

Cho không gian metric X

được gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính r

Tập con V  X được gọi là một lân cận của điểm x0X nếu tồn tại số 0

1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric

Giả sử x n là một dãy điểm trong không gian metricX Điểm x được gọi là

giới hạn của dãy  x n nếu:

1.1.4 Không gian metric đầy

Cho không gian metric X Dãy  x n  X được gọi là dãy Cauchy (hay dãy

Lại có, giả sử  x n C a b, là dãy Cauchy tùy ý, nghĩa là    0, nsao cho:

x n p  t x t n  , n n ,   p, t  a b, (1.1) Với mỗi t a b ta có dãy số tương ứng , x t n   là dãy Cauchy trong Đặt   lim  

Vậy d là một hàm khoảng cách trên X Lúc đó ta có X cùng với d tạo

thành một không gian metric, kí hiệu là L2 0,1

1.2 Nguyên lý ánh xạ co

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ co

Cho không gian metricX Ta có ánh xạ f X: X được gọi là ánh xạ co nếu

tồn tại 0  1 sao cho:

d f x f y ( ), ( )d x y , , x y, X (1.4) Điểm x*X gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f x * x *

1.3 Không gian Banach

1.3.1 Không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực (hay phức) Hàm

thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:

1.3.2 Không gian Banach

Không gian định chuẩnX là không gian metric đầy với metric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach

Khi đó ta có bất đẳng thức Holder như sau

Nếu ,p q là cặp số mũ liên hợp, tức là 1 p q,   sao cho 1  1 1

x x t dt , lúc đó ta có là một chuẩn trên L2 0,1hơn nữa 2 

Ánh xạ  như trên được gọi là tích vô hướng trên X

1.4.2 Không gian tiền Hilbert

Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là không gian tiền Hilbert

Sau này với tích vô hướng  thì thay cho việc viết  x y, ta viết  x y và ,

gọi là tích vô hướng của x và y

* Nhận xét: Xét tương ứng x x   x x, ,  x X Ta thấy tương ứng trên xác định một chuẩn trên X , như vậy không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng Do đó một không gian tiền Hilbert ta có thể xét tới tính đầy hay không đầy như một không gian định chuẩn

1.4.3 Không gian Hilbert

Một không gian tiền Hilbert đầy được gọi là không gian Hilbert

Xác định tích vô hướng trên 2

l và sinh ra chuẩn của nó, tức là:

L là không gian Hilbert

1.5 Toán tử đơn điệu

1.5.1 Khái niệm toán tử đơn điệu

Giả sử X là không gian định chuẩn thực, *

X là không gian liên hợp của X Toán tử A:D A  X X được gọi là toán tử đơn điệu trên * D A nếu:  

A x  A y x , y 0, x y, D A  (1.6)

Trong đó A x,  A x (Giá trị của phiếm hàm  A tại x )

Nếu x y, D X  ta có A x A y x , y 0 thì toán tử A được gọi là đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt)

Ví dụ 1.5.1 Cho không gian Hilbert H Khi đó ta có H* H , xét toán tử

1.5.2 Một số khái niệm đơn điệu

Toán tử d-đơn điệu

Cho không gian định chuẩn X , toán tử *

A X X gọi là d-đơn điệu nếu:

AuAv u,  v    u  v   u  v  (1.7) Với  là hàm số tăng thật sự trên 0,

Toán tử đơn điệu đều

Cho không gian định chuẩn X , toán tử *

A X X gọi là đơn điệu đều nếu:

AuAv u,  v  u  v  (1.8)

Toán tử đơn điệu mạnh

Cho không gian định chuẩn X , toán tử A X: X* gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m0 sao cho:

+ Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử d_đơn điệu đều với

+ Nếu toán tử A đơn điệu đều thì toán tử A đơn điệu nghiêm ngặt

+ Nếu toán tử A là d-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt

1.5.3 Một số khái niệm liên tục

Toán tử đêmi liên tục

Giả sử X Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ , A X: Y Ánh xạ A

được gọi là đêmi liên tục tại x0D A X nếu với mọi dãy  x n D mà

0 0

n

x x khi n thì A x hội tụ yếu về  n G x  0

Toán tử hêmi liên tục

Giả sử X Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ , A X: Y Ánh xạ A

được gọi là Hêmi liên tục tại x0D A  Xnếu A x 0 txA x 0 khi 0



t

Toán tử rađian liên tục

Cho không gian định chuẩn X , ta có toán tử A X: X gọi là rađian liên *

tục nếu u v, X thì hàm số  s  A u sv v, liên tục trên  0,1

Toán tử liên tục Lipschitz

Giả sử X là không gian định chuẩn, *

X là không gian liên hợp của X Toán

A X X được gọi là liên tục Lipschitz nếu  L const0sao cho

AxAy L x y , x y, X (1.10)

Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn

Giả sử X là không gian định chuẩn,X* là không gian liên hợp của X Toán

tử A X: X được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số * 

đơn điệu tăng trên 0, sao cho u v, X :

AuAv  R , Rmax u , v  (1.11)

1.5.4 Phương trình toán tử

Cho X là không gian Banach và toán tử A X: X Xét phương trình:

x Ax f, f X (1.13) ,phương trình (1.13) được gọi là phương trình toán tử loại 2

Phương trình có dạng

Ax f, (1.14) Phương trình (1.14) được gọi là phương trình toán tử loại 1

Ví dụ 1.5.2 Cho không gian Banach X C a b, , hàm số K t s liên tục theo  ,hai biến ,t s trên    a b,  a b Xét phương trình toán tử tích phân ,

Chứng minh

Giả sử A là toán tử đơn điệu nhưng không bị chặn địa phương, khi đó tồn tại

dãy  u n X u, n u trong X và Au n *   với n1, 2

Au M Điều này mâu thuẫn với giả thiết A không bị chặn địa phương

Vậy nếu A là toán tử đơn điệu thì bị chặn địa phương 

Định lý 1.5.2 ( Định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của phương trình



Ax f )

Cho toán tử đơn điệu *

A X X Khi đó các mệnh đề sau tương đương với

nhau:

a) Toán tử A là rađian liên tục

b) Từ điều kiện f  Ay x,  y 0,  y X suy ra Ax f

c) Từ các điều kiện x hội tụ yếu đến x trong n X , Ax hội tụ yếu đến f n

trong *

X và lim Ax x n, n  f x, suy ra Ax f

d) Toán tử A là đêmi liên tục

e) Nếu K là tập tù mật trong X thì từ điều kiện

Cho t0 ta được f Ax y, 0 (vì A là toán tử rađian liên tục)

Do y tùy ý thuộc vào X suy ra Ax f

(b)(c) Giả sử x hội tụ yếu đến x trong n X , Ax hội tụ yếu đến f trong n

Suy ra f Ay x, y 0,  y X nên theo (b) suy ra Ax f

(c)(d) Giả sử x n x trong X , theo định lý (1.5.1) vì A là toán tử đơn điệu suy ra A bị chặn địa phương do đó dãy  Ax n * bị chặn

Mặt khác, giả sử  x n0  x sao cho n Ax hội tụ yếu đến f trong n *

X Khi đó lim , ,

Kết hợp với tính chất A là toán tử rađian liên tục suy ra Ax f

(e)(a) Trong trường hợp đặc biệt khi K  X thì ta có (e)(b) Nhưng từ (b) theo chứng minh trên ta suy ra A là toán tử đêmi liên tục, từ đó suy ra A

là toán tử rađian liên tục

Chương 2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu

2.1 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

2.1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Giả sử X là không gian Hilbert trên trường số thực với tích vô hướng  , và chuẩn sinh bởi tích vô hướng Toán tử A X:  X có miền xác định

Hay hàm số f là hàm số đơn điệu tăng trên

Định lý 2.1.1 Giả sử phương trình toán tử (2.1) thỏa mã các điều kiện:

iii) A là toán tử đơn điệu từ D A vào   X .

Khi đó tồn tại hình cầu  *

Nhận xét rằng nghiệm *

x của phương trình (2.1) là duy nhất Thật vậy, giả sử

nếu phương trình (2.1) còn tồn tại nghiệm y* x lúc đó ta có các đẳng thức: *

Vì A là toán tử đơn điệu nên  * *

Hệ quả 2.1.1 Giả sử Alà toán tử đơn điệu liên tục trên miền D A mở trong  

không gian Hilbert X , yR I  A , khi đó tồn tại hình cầu   *

S x r và số dương C sao cho dãy

 t n với xấp xỉ ban đầu t1S được xây dựng bởi công thức 1

Mặt khác vì toán tử A liên tục tại *

x suy ra tồn tại lân cận S của *

x sao cho

C xấp xỉ đầu tiên của dãy (2.6) được chứa trong S ( C có thể lấy là số nguyên 1

dương) Lấy t1 x và xây dựng dãy C  t n theo công thức (2.7) ta có:

2.2 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach

Xét phương trình loại hai

xAx f (2.8)

2.2.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach

Đinh nghĩa 2.2.1 ( Toán tử đơn điệu trong không gian Banach)

Toán tử A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là đơn điệu nếu với mọi phần tử tùy ý x x1, 2Xvà với mọi số  0 thì ước lượng sau đây là đúng:

x1 x2 Ax1Ax2  x1x2 (2.9)

Bổ đề 2.2.1 Cho không gian Banach X và toán tử A X: X là toán tử đơn

điệu Khi đó với mọi ,x yX và với mọi số dương  1, 2 thỏa mãn  1 2 thì bất đẳng thức sau đúng

x y 1xy   x y 2xy (2.10)

đẳng thức sau đúng

x   y x 1 y ,   0 (2.13) Thật vậy, ta có trong không gian Banach X hình cầu

Điều này mâu thuẫn với (2.13), do đó điều giả sử là sai Như vậy bổ đề được chứng minh

Định lý 2.2.1 Giả sử toán tử A tác dụng trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục Lipschitz, khi đó phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất với phần tử tùy ý f X

q  L Vì vậy theo nguyên tắc ánh xạ co thì phương trình (2.16) có

nghiệm duy nhất w với f tùy ý

Như vậy phương trình ban đầu (2.15) tương đương với phương trình (2.16)

cũng giải được duy nhất nghiệm với phần tử tùy ý f 

Từ kết quả và phương pháp chứng minh của định lý (2.2.1) ta xét phương pháp giải xấp xỉ phương trình toán tử trong không gian Banach sau đây

Xét một họ tham biến các phương trình toán tử

xAx f, 0  1 (2.17) Với  0 ta có phương trình thường x f

sẽ có thể đến nghiệm phải tìm của phương trình (2.8) sau một số hữu hạn bước

* Thuật toán giải phương trình (2.8) với toán tử A liên tục Lipschitz và hằng



y AF y f (2.20)

Giải phương trình (2.20) ta tìm được nghiệm y , sau đó thế vào phương trình (2.19) để tìm nghiệm x Trong đó nghiệm y của phương trình (2.20) có thể

tìm bằng công thức xấp xỉ của phép lặp đơn như sau

Dưới dạng tổng quát ta có quá trình lặp như sau

1 1 1 , 0,1, 2, ; 0,1, 2,

x    Ax  Ax  f m k (2.24) Công thức (2.24) được hiểu như sau Trước hết lấy xấp xỉ x0 x và dựng quá

Định lý 2.2.2 (Định lý ước lượng về tốc độ hội tụ) Giả sử toán tử A tác tác dụng trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng

số Lipschitz L Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ x n N  ,N L n, 1,2, ,được

dựng theo quá trình lặp (2.25) hội tụ đến nghiệm đúng x của phương trình

(2.8) theo chuẩn của không gian X , hơn nữa ta có ước lượng

Vì toán tử 2 A0 không là toán tử co nên ta thực hiện phép thay biến

y x  Ax F x Lúc đó phương trình (2.29) có dạng

trong việc cho đối số của toán tử 0A tương đương với sai số q n trong việc cho vế phải của phương trình 1

Ta thu được ước lượng

x n x k 0  k n k n   1 n , (2.32)

i n qi1 n   1 n , 1 i k, (2.33)

trong đó n là số các phép lặp thực hiện tại mỗi quá trình

Mặt khác viết bất đẳng thức (2.33)ưới dạng sau

1

1 1

Do đó có thể viết ước lượng sai số (2.35) đối với bài toán k bước theo tham

biến  dưới dạng sau

+ Bài toán giải phương trình (2.8) với các điều kiện của định lý (2.2.1) ổn

định đối với nhiễu của vế phải phương trình

+ Từ ước lượng (2.36) ta suy ra rằng đối với số tự nhiên cố định tùy ý n1 ta

có x n N ,  x 0 khi N  Điều này chứng tỏ rằng sự hội tụ đến

nghiệm của phương trình (2.8) có thể đảm bảo với bước bé 0  1

N

 theo tham biến  khi số phép lặp n cố định trong mỗi quá trình lặp đã được sử dụng