Tìm GTLN của hàm số: trên đoạn.. Cho hàm số có đồ thị là C.. Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị C.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.. Chứng minh rằng với mọi g
Trang 1SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN
Đề thi chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2010
Môn:Toán Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 07/01/2010
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ BÀI
Câu 1: (6 điểm)
1 Cho phương trình:
(1) (m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m = 0.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
2 Giải hệ phương trình:
Câu 2: (5 điểm)
1 Tìm GTLN của hàm số: trên đoạn
2 Cho hàm số có đồ thị là (C)
Tính diện tích tam giác có các đỉnh
là các điểm cực trị của đồ thị (C)
Câu 3: (6 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh
rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: (t là tham số) luôn tiếp xúc
với một đường tròn cố định
2 Cho lăng trụ đứng
ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a,
AA1 = và Gọi M là trung điểm của CC1 Chứng minh MB MA1 và tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (A1BM)
Câu 4: (1.5 điểm)
Cho đa thức có các hệ số không âm và
có n nghiệm thực Chứng minh
Câu 5: (1.5 điểm)
Cho hàm số: có đồ thị là (C) là điểm trên (C) có hoành độ Tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại điểm cắt (C) tại điểm khác (n = 4; 5;…), gọi là tọa độ điểm Tìm n để :
-Hết -1 2sin 1 sin
2 + x −3.2 + x m= −4
1 1
y= − +x [−x7;7+] x−
1
4
y = x − x +
cos sin sin 2cos 3 0
x t y+ t+ t− t− =
2a 5
· 120
BAC⊥= o
f x =x +a x− f−( )2+a x≥−3n − + +L a x+
y x= −( x y x M M M M M M M M M1M M n;=n n1121232n n−−111n) x
2013
2009x n + y n +2 =0
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12
NĂM HỌC 2009-2010
1
(4điểm) Đặt ta có phương trình:
(2)
0.5
a.Với m = 0 suy ra: 0.5
1
b.ycbt(2) có nghiệm 0.5
(2) có nghiệm khi đường
thẳng y = m cắt trên
0.5
2
(2điểm)
Lập luận từ (1) và (2) suy ra
và x, y không cùng dấu
0.75
Vai trò của x, y bình đẳng , không làm mất tính tổng quát giả sử
Lập luận đưa ra hệ vô
nghiệm
0.75
Nhận thấy là các nghiệm của
hệ
0.5
1
(2điểm)
Xét hàm trên 0.5
1.0 0.5
1 2sin 1 s inx
2+ x −3.2+ = −m 4
2
= ⇒ ∈
2
2t − = −6t m 4
2
2t − + = ⇔ = ∨ =6t 4 0 t 1 t 2
s inx
1 2 1 sinx 0
s inx
2
⇔1
;2 2
∈ ( )2 ⇔2t2 − + =6t 4 m
( )P y: =12t2− +6t 4
;2 2
( )
y = y = − y =
2 m 2
− ≤ ≤
1 (1)
1 (2)
x y
x y
1 x 0 y 1
− < < < <
( ) ( )0;1 ; 1;0
y = − +x [−x7;7+] x−
f x = − +x[−7;7x] + x−
2
y = − x + x+ = ⇔ = − ∨ =x x
( )4 266; ( )6 234; ( )7 218; ( )7 104
7;7
maxy y 4 266
Trang 31.0
NX: các điểm cực trị
tạo thành tam giác
cân tại C Suy ra diện
tích được tính:
1.0
1
(2điểm) (*)
0.5
tìm các điểm mà đường thẳng không đi qua với mọi t hay (*) vô nghiệm xét đt (C )
0.5
C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t 0.5
Vậy đường thẳng đã cho luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có phương trình :
0.5
2
(4điểm)
a Chứng minh
0.75
0.75
1
4
y= x − x +
( 2; 1 ;) ( ) (0;3 ; 2; 1)
4.4 8
S = BH AC= = dvdt
cos sin sin 2cos 3 0 1 sin 2 cos 3
⇒
⇔( +) (2 + −)2 <2
y+ + −x =
y+ + −x =
'
MB⊥MA
uuur uuuur
AA' 2
BM = BA AM+ = −AB AC CM+ + = − AB AC+ +
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
2
A M = A C +C M =AC−
uuuuur uuuur uuuuur uuur uuuur
BM A M = − AB AC+ + AC−
uuuur uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
2
1
4
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
'
MB⊥MA
uuur uuuur
Trang 4b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM)
0.5
0.5
0.5 0.5
Câu 5
tại
0.5
Tọa độ điểm được xác định:
0.5
0.5
Câu 4
2 điểm
có các hệ số không âm và n nghiệm thực Suy n nghiệm đó âm giả sử là các nghiệm:
0.5
Theo cách phân tích đa thức
ta được
0.5
Đặt với 0.5
'
2 '
AA '
1 ' 2
1
2 .cos120 AA ' 12
4
1
3 12 3 3 2
2 2 5 2 5; , AA ' sin 60
, '
A BM
A BM
M
a
d A A BM
a
y x= − x
( ; )
M x y( ) ( )
M y y− = y x x x−
(3 k2 2009) ( k) k3 2009 k
1
k
M +
1
2
( ) 1
1 1; 2 2; 3 4; ; n 2 n
x = x = − x = x = − −
n
−
f x =x +a x−x i i, −=+1,2, ,a x− n− + +L a x+
( ) i n1( i)
=
= Π −
=
n i
=
Π =
Trang 5Ta có Suy
ra đpcm
0.5
2 n 2 n 1 1 3n n 3n