Cho hàm số m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với.. Bài 5 : 3,0 điểm Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
AN GIANG Năm học 2012 – 2013
Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,0điểm)
Cho hàm số ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với
Bài 2: (3,0 điểm)
Giải phương trình :
Bài 3: (3,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Bài 4: (4,0 điểm)
Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm trong đó đôi một khác nhau
Bài 5 : (3,0 điểm)
Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36
Bài 6: (4,0 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất
(Cho biết: )
-Hết -
ĐỀ CHÍNH THỨC
SBD : ………… PHÒNG :……
…………
ebooktoan.com
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
AN GIANG Năm học 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1
A.ĐÁP ÁN
Bài 1
Đ
Để hàm số có hai điểm cực trị thì và ta có bảng biến
thiên sau
0 0
Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là
Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được
ạ
Vậy thỏa đề
3,0 điểm
Bài 2
Giải phương trình
Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là
thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương
Đặt
phương trình trở thành
3,0 điểm
Trang 3
Lại đặt phương trình trở thành
ạ
Với
vậy là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm
Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là :
So với điều kiện phương trình có hai nghiệm
Bài 3
TXĐ:
Đặt
Vậy
Xét hàm số
3,0 điểm
ebooktoan.com
Trang 4Vậy
Bài 4
Mỗi bộ ba số nguyên dương thỏa mãn tương
ứng với bộ
ố
ố
ố
trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0
Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và
2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và
không được đứng đầu và đứng cuối
Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện
* Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp
* Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí
đầu và cuối)
* Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không
sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)
* Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có các bộ số cần tìm
Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba
nghiệm bằng nhau
Ta đếm các nghiệm trong đó
Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên
với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện
* Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách
chọn
* Số còn lại là có đúng một cách chọn
Vậy có 1005 bộ ba số trong đó
* Vì vai trò đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số
giống nhau
Vậy có các bộ nghiệm trong
đó đôi một khác nhau
4,0 điểm
Trang 5Bài 5
* Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ
* Ta có nhận xét hai đường thẳng vuông góc nhau CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; CD * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:
* Ta lại có Vậy
Vậy tọa độ điểm A là (loại) Với do
*
Ta lại có
Vậy tọa độ B là (loại)
Với do
Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là
3,0 điểm Bài 6 * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ
* Đặt
* Tam giác SHM vuông tại H ta được
* Đặt ớ
4,0 điểm
M H
A
D S
ebooktoan.com
Trang 6Xét hàm số :
Bảng biến thiên
+ -
Vậy
B HƯỚNG DẪN CHẤM
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
+ Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn