Rút gọn biểu thức A.. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuốn
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
LỚP 8
Thời gian: 90 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3
b) x4 + 2012x2 + 2011x + 2012
Bài 2: (2,5 điểm)Cho biểu thức:
2 2
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị của A , Biết |x| =1
2.
c Tìm giá trị của x để A < 0
d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài
3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :
18
1 42 x 13 x
1 30
x 11 x
1 20
x 9 x
1
2 2
+ +
+ + +
+ + +
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = 3
c b a
c b
c a
b a
c b
− +
+
− +
+
− +
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E,
F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 điểm)
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( )3 3 3 3
+ + − − +
y z+ x y z+ + + x y z x x+ + + − +y z y − yz z+
= (y z 3x+ ) ( 2 +3xy 3yz 3zx+ + ) = 3(y z x x y+ ) ( + ) (+z x y+ )
= 3(x y y z z x+ ) ( + ) ( + ) (1 điểm)
b)x4 + 2012x2 + 2011x + 2012 = (x4 - x) + (2012x2+2012x+2012)
= x(x3- 1) + 2012 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2012 (x2+x+1)
= (x2+x+1) [x(x -1) + 2012] = (x2+x+1) (x2 –x + 2012) (1 điểm)
Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức:
2 2
a) Rút gọn được kết qủa: A 1
x 2
−
=
− (0,75 điểm)
b) x 1
2
2
⇒ = hoặc x 1
2
−
= (0,25 điểm)
⇒A=
3
2
hoặc A=
5
2
(0,75 điểm)
c) A < 0⇔x - 2 >0⇔x >2 (0,25 điểm)
d) A ∈Z ⇔ Z
2 x
1
∈
−
x-2 ∈Ư(-1) ⇔ x-2∈{ -1; 1} ⇔x∈{1; 3} (0,5 điểm)
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ) x2+9x+20 = ( x+4)( x+5) ;
x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm)
Trang 3ĐKXĐ : x ≠ −4;x ≠ −5;x ≠ −6;x≠ −7 (0,25 điểm) Phương trình trở thành :
18
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5
)(
4
(
1
= + +
+ + +
+ +
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
= +
− +
+ +
− +
+ +
−
x
18
1 7
1 4
1
= +
−
x (0,25 điểm)
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; (0,25 điểm)
b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm)
Từ đó suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
=
+ +
+ +
+
) (
) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
(0,25 điểm)
Từ đó suy ra A ( 2 2 2 )
2
1 + +
điểm)
Bài 4: (3,5 điểm)
a)Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) ⇒ BE // DF (0,25 điểm)
Chứng minh : ∆BEO= ∆DFO g c g( − − ) ⇒ BE = DF (0,5 điểm)
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
Trang 4b) Chứng minh:∠ABC= ∠ADC⇒ ∠ HBC= ∠ KDC (0,25
điểm)
⇒ ∆CHB ∽∆CKD(g-g) (0,5 điểm)
CB CK CD CH CD
CB
CK
CH
=
⇒
=
⇒ (0,5 điểm)
c)Chứng minh : ∆AFD ∽∆AKC(g-g) (0,25 điểm)
AC
AD
AK
AF
=
⇒
= (0,25 điểm)
Chứng minh : ∆CFD ∽∆AHC(g-g) ⇒ AHCF =CDAC (0,25 điểm)
Mà : CD = AB ⇒ AB AH CF AC
AC
AB AH
CF = ⇒ = (0,25 điểm)
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm)
E
K
H
C
A
D B