Trong một trường có ba lớp 7.. Tính số học sinh mỗi lớp.. Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G.. Vẽ đường trung trực HE, HF của AC và BC.. Cho tứ giác ABCD.. Gọi E, F,
Trang 1UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Cho x y z
2 = = 3 4 Tìm giá trị của biểu thức : y + z - x
M=
x - y + z b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : f(x) = - x2+ 5x + 3
Bài 2: (6,0 điểm).
a) Tìm x, biết rằng:
1 1 1 0,75x +4 4
b) Rút gọn biểu thức sau đây:
+
1 x + x 1 x + x
C =
-
1 x + x 1 - x + x
−
+
Bài 3: (2,0 điểm)
Trong một trường có ba lớp 7 Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B
và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là
57 bạn Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ đường trung trực HE, HF của AC và BC Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC.
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
b) Chứng minh hệ thức EF AB + CD
2
≤ c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
-Hết -Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:……
Chữ ký của giám thị 1:……… Chữ ký của giám thị 2:………
Trang 2
UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán lớp 8
Bài 1: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Đặt x y z = k 0
x = 2k , y = 3k, z = 4k
⇒ (0,5 điểm) Khi đó:
y + z - x 3k + 4k - 2k
M = =
b) (2,0 điểm)
2 f(x) = - x + 5x + 3 = - ( x2 - 5x - 3 ) (0,25 điểm)
= - (x2 – 2.5
2.x + 25 37
-
2
5 37
x - -
2
- x - +
Do
5
x =
Vậy f (x) có giá trị lớn nhất là 37
Bài 2: (6,0 điểm)
a) (3,0 điểm)
Ta có:
(0,5 điểm)
Trang 31 1 1 1 1 1 1
+ +
2 11 21
= − ÷
Do đó:
−
⇔ − ÷
⇔
(0,5 điểm)
b) (3,0 điểm)
Ta có :
1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x ( 1 điểm)
Vậy:
2
1 + x + x 1 - x + x
( 1 điểm)
Trang 4Bài 3: (2,0 điểm)
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z ∈ N * ) (0,25 điểm) Theo đề bài ta có:
x = y = z
-
⇒
- Lớp 7A có 36 = 543
2 học sinh
- Lớp 7B có 36 = 484
- Lớp 7C 36 = 455
Bài 4: (4,0 điểm)
H D
K
G I
F
E
B
A
C
Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Ta có HE là đường trung bình của tam giác ACI, nên:
HE // IA và HE = IA
Tương tự, trong tam giác CBI:
HF // IB và HF = IB
Từ BG ⊥ AC và HE ⊥ AC ( gt)
Tương tự : AK ⊥ BC và HF ⊥ BC ( gt)
Do đó: BG = IA và AG = IB Kết hợp với các kết quả ( 1) và ( 2) (0,5 điểm)
Trang 5Bài 5: (4,0 điểm).
I
F E
A
B
C D
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
Tương tự, ta có: FI là đường trung bình của tam giác ABC (0,25 điểm)
b) Chứng minh hệ thức EF AB + CD
2
≤
Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD
Suy ra: EI = DC1
Tương tự : IF = AB1
Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
Suy ra: EF 1(AB + CD)
2
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó
Suy ra: EF = AB + CD
Ngược lại: nếu ta có EF = AB + CD
Trang 6Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng (0,25 điểm)
Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 điểm)
* Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo
qui định của từng bài