Gọi I là trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng ABC thỏa mãn IA= −2IH.. Góc giữa SC và mặt phẳng ñáy bằng 600.. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ tr
Trang 1Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 ñiểm)
Câu 1 (2,0 ñiểm) Cho hàm số y=x3+(1 2 )− m x2+(2−m x) +m+2 (C m)
1 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (Cm) khi m = 2
2 Tìm m ñể ñồ thị (Cm) có tiếp tuyến tạo với ñường thẳng d x: +y+ = góc 7 0 α biết os 1
26
Câu 2 (1,0 ñiểm) Giải phương trình: 2 cos 4x−( 3−2)cos2x=sin 2x+ 3
Câu 3 (1,0 ñiểm) Giải bất phương trình: 4 4 2 16 6
2
Câu 4 (1,0 ñiểm) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: ( ) 1 sin
1 cos
x x
x
+
= +
Câu 5 (1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông cân tại A,AB = a 2 Gọi I là trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA= −2IH
Góc giữa
SC và mặt phẳng ñáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung ñiểm K của SB ñến mặt phẳng (SAH)
Câu 6 (1,0 ñiểm) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn x+y+ = z 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Phần riêng (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0), ñường cao từ B có phương trình
1 0
x+y+ = Trung tuyến từ ñỉnh C có phương trình 2x− − = Viết phương trình ñường tròn ngoại y 2 0 tiếp tam giác ABC
Câu 8.a (1,0 ñiểm) Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho mặt cầu (S) tâm I(-1; 5; c) cắt mặt phẳng Oxy
theo ñường tròn (C) có diện tích bằng 12π ðiểm M thuộc (C), IM tạo với mặt phẳng Oxy góc 300
1 Tìm tọa ñộ tâm và tính bán kính ñường tròn (C)
2 Viết phương trình mặt cầu (S) và tính thể tích hình cầu (S)
Câu 9.a (1,0 ñiểm) Một hộp ñựng 3 quả cầu ñỏ, 4 quả cầu xanh, 5 quả cầu trắng Lấy ngẫu nhiên 3 quả
Tính xác suất ñể 3 quả lấy ra không cùng màu
B Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2; 1) ðường cao qua ñỉnh B có
phương trình x−3y− = ðường trung tuyến qua ñỉnh C có phương trình 7 0 x+y+ = Xác ñịnh tọa ñộ 1 0 các ñỉnh B, C và diện tích tam giác ABC
Câu 8.b (1,0 ñiểm) Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho các ñiểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1)
1 Chứng minh A, B, C, D là 4 ñỉnh của một tứ diện Tính thể tích tứ diện và ñộ dài ñường cao từ ñỉnh D của tứ diện
2 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu 9.b (1,0 ñiểm) Giải phương trình ( )log 2 ( )log 2
2
3 1+ x+x 3 1− x = +1 x
- Hết -
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ………
Thí sinh không ñược dùng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trường THPT Xuân ðỉnh
ðề thi gồm 1 trang
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013 Môn: TOÁN Khối A-B-D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề
Trang 2ðÁP ÁN THANG ðIỂM ðỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 ñiểm)
Câu 1 (2 ñiểm)
1 Khảo sát và vẽ ñồ thị (Cm) khi m = 2
y = x3 – 3x2 + 4
• TXð: D = ℝ
• Sự biến thiên
+ Giới hạn: lim ; lim 0, 25
x→−∞ x→+∞
2
x
x
=
+ Bảng biến thiên
x −∞ 0 2 + ∞
y’ + 0 - 0 +
y
4 + ∞
-∞ 0
Hàm số ñồng biến (−∞; 0) (và 2;+∞ − − − − − − − − − − − − − − − − − −) 0, 25
Hàm số nghịch biến trên (0; 2)
+ Cực ñại, cực tiểu: y CD= ⇔ =4 x 0 àv y CT = ⇔ = 0 x 2
• ðồ thị:
+ ''
y = x − = ⇔ = , ñồ thị có ñiểm uốn I (1; 2) x
+ Giao Ox tại (-1; 0) và (2; 0); Giao Oy tại (0; 4) -025
26
c α =
Giải
Gọi ∆ là tiếp tuyến của (Cm) có PT: y = kx + n ⇒ ∆ có véc tơ pháp tuyến n=(k; 1− )
ðường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n2→ =(1;1) Ta có ………0,25
Trang 31 2 2
2
1 2
3
2
3
k
α
=
−
1
2
3
:
2
0, 25 2
:
3
y x n
y x n
⇒ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Tiếp tuyến của (Cm) tại M (x0; y0) có hệ số góc k = y’=3x2 + 2(1 - 2m)x + 2 – m ∆1 à ∆ thỏa mãn yêu 2 cầu bài toán khi 1 trong 2 phương trình sau có nghiệm:
2
' 1 '
2
2
3
0
3
0, 25
⇔ − − − − − − − − − − − − −
∆ ≥
Câu 2 (1,0 ñiểm) Giải phương trình
PT
2
4 cos 3 cos 2 3 os 2 sin cos 0, 25
2 cos (2 cos 3 3 cos s inx) 0 0, 25
6
x
π π π
=
0, 25 os3
2
0, 25 2
c x
π
π π
π
= +
Câu 3 (1 ñiểm) Giải bất phương trình
ðK: x≥ ðặt t = 4 x+ +4 x− ⇒4 t2 =2x+2 x2−16
Bất phương trình có dạng: 2 12 0 3 ( ) 0, 25
4
t Loai
t t
t
≤ −
Trang 44
0, 25 4
8
5
x
x
x
x
x
x x Tap nghiem S
x
≥
⇔ ≥
≥
≥
Câu 4 (1 ñiểm) Tìm họ nguyên hàm
1 s inx
1 cos
x
x
+
=
+
∫ (ðK: x≠ +π k2π )
ðặt
2
1 2 2
1 s inx cos
1 s inx
1 cos 0, 25
1 cos
0, 25
x
x
u
x x
dv e dx v e
+
+
Xét
sin x
1 cos
x
J
x
=
+
∫
ðặt:
1 cos
0, 25
0, 25
x
x
+
+
∫
∫
Câu 5 (1 ñiểm)
I A
C
B S
H
K'
K
a) SH ⊥(ABC)⇒HC là hình chiếu của SC trên (ABC) ⇒ SC tạo với ñáy góc 0
60
SCH =
Trang 5Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = AB 2 =2a ⇒ là trung ñiểm BC I
3 .0, 25 2
a
AI BI IC a AH
Trong tam giác vuông ICH có
2
CH =IH +IC = ⇒CH =
tan 60 0, 25
2
a
=
b) K K là trung ñiểm SB, SI , ' ⇒K K, 'là ñường trung bình của tam giác SBI
'
/ / ,
2
, 0, 25
2
a
KK IB KK
IB SH
IB SAH KK BI KK SAH
IB AH
a
d K SAH KK
Câu 6 (1 ñiểm) Tìm GTNN của P:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
3 3
0, 25
( , 0) 0, 25
P
x y x y x y xy xy x y
x y xy x y xy
x y
y x
Chứng minh tương tự:
1
3
Phần riêng (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần A hoặc B
A – Chương trình Chuẩn
Câu 7a (1 ñiểm)
A
B
C
M
H
1 : 1 0; 2 : 2 2 0 1
d ≡BH x+ + =y d ≡CM x− − =y d có vtcp n1( )1;1 ;d2
có vtcp n2(2; 1− )
AC qua A, vtcp n( )1;1 ⇔ AC x: − − =y 3 0
Trang 6( ) ( )
2
x y
x y
− − =
− − =
B (xB; yB), M là trung ñiểm của AB 3;
2 1
1
2
B B
x y
x
ðường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC, (C) có tâm I (a; b) bán kính R
Vậy phương trình (C): x2+y2−2ax−2by+ =c 0(a2+b2− >c 0)
( )
, ,
A B C∈ C nên ta có hệ như sau:
2 1 2 0, 25
Vậy phương trình (C): x2+y2−2x+4y− = Tâm I (-1; 2), bán kính R = 2 2 …… 0,25 2 0
Câu 8a (1 ñiểm)
I
H
M
a) Mặt cầu (S) tâm I bán kính R cắt mặt phẳng Oxy theo ñường tròn (C) tâm H bán kính r H là hình chiếu của I trên Oxy nên suy ra H (-1; 5; 0) S c =πr2 =12π ⇒ =r 2 3 0, 25
b) Tam giác IHM: HM = =r 2 3, IMH =300 ⇒IH =HM tan 300= =2 c
1
2
1;5; 2
0, 25 1;5; 2
I
I
−
⇒
Phương trình mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x+ + y− + z− =
2 : 1 5 2 16 0, 25
.4 0, 25
Câu 9a (1 ñiểm)
Không gian mẫu Ω =C123 0, 25
Trang 7A: “3 quả lấy ra không cùng màu”
A : “3 quả lấy ra cùng màu”……… 0,25
3 3 3
3 4 5 0, 25
1 1 0, 25
A
A
Ω
B – Chương trình Nâng cao
Câu 7b (1 ñiểm)
A
B
C
M
H
a) d1≡BH x: −3y− = có vtcp 7 0 n1(1; 1)−
d ≡CM x+ + = y
Phương trình AC qua A có vtcp n1(1;3) : 3x+ − = y 7 0
( ; ) 3 7 0 (4; 5 0, 25)
x y
x y
+ − =
+ + =
M là trung ñiểm của AB
2 2 1 2
B M
B M
x x
y y
+
b)
5 10
2 10 16 0, 25
ABC
− − −
△
Câu 8b (1 ñiểm)
a AB= −( 1;1;1 ,) AC=(0; 1; 2 ;− ) AD=(0; 0;1)
không ñồng phẳng nên ABCD là tứ diện
, 0, 25
ABCD
V = AB AC AD =
,
ABC
S = AB AC =
△
Trang 8
( ) 1 1 1 14 1 0, 25
DH ⊥ ABC ⇒V = S△ DH ⇔ = DH ⇒DH =
b Mặt cầu (S) tâm I (x; y; z) ngoại tiếp tứ diện ABCD suy ra
2 2
3 2
1 2
IA IB
x
z
z
= −
=
0, 25
Phương trình (S):
0, 25
Câu 9b (1 ñiểm)
Giải phương trình
ðK: x > 0
ðặt: ( )log 2 ( )log 2
3 1+ x =u, 3 1− x =v u v( , >0)
2 log
log 2 2 2
x
x
u v= + − = = ⇒x u v =x
Phương trình tương ñương:
2 1 2 2
u uv+ = +u v
2
2
2
log
2 log 2
1
1
x
x
u
uv
=
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình ……… 0,25