a Chứng minh A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.. a Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.. b Tính độ dài phân giác trong của góc A.. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗ
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp 10 - Chương trình Cơ bản
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (2 điểm):
a Tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng, hướng bề lõm, lập bảng biến thiên và
vẽ đồ thị (P): y = x2 + 4x + 3
b Với giá trị nào của m thì đồ thị (P) cắt đường thẳng (d) : y = m tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm
Câu 2 (1 điểm):
Xác định hàm số bậc hai y = x2 + bx + c, biết rằng đồ thị của nó có trục đối xứng là đường thẳng x = - 3 và cắt trục tung tại điểm A(0; 9)
Câu 3 (2 điểm):
Giải các phương trình sau:
a b
Câu 4 (1 điểm):
Giải và biện luận phương trình: mx - 3 = (2 - m)x + 2m
Câu 5 (2 điểm):
Cho ba điểm A, B, C với A(-5; 6); B(-4;-1); C(4; 3)
a) Chứng minh A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác
b) Tìm điểm D trên trục hoành sao cho ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD
Câu 6 (2 điểm):
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2; 4), B(1; 1), C(4; 0)
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B
b) Tính chu vi tam giác ABC
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị:
= −2
− = +
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN 10 – CHƯƠNG TRèNH CHUẨN
1
a) - Đỉnh I(– 2, –1)
- Trục đối xứng x = - 2
- Parabol có bề lõm hớng lên trên (do hệ số a = 1 > 0)
- Bảng biến thiờn :
x -2
y = x2 + 4x + 3 -1
- Đồ thị :
b) Nhỡn vào đồ thị cú thể thấy (P) cắt đường thẳng y = m (song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm cú toạ độ (0; m)) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ õm khi -1 < m < 3
Chỳ ý: HS cú thể giải bằng cỏch sử dụng định lớ vi-ột
1
1
2
Ta cú = -3 ⇔ b = 6a = 6
9 = 0 + b.0 + c ⇔ c = 9
Hàm số cần tỡm là y = x2 + 6x + 9
1
3
a) Vậy phương trỡnh cú 1 nghiệm x = 4
b)
1
−∞
+∞
f(x)=x^2+4x+3
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
( )
− ≥
≥
⇔ = ⇔ =
=
2 2
4 1
4
x x x
x x
x
Trang 3Vậy phương trỡnh cú 1 nghiệm x = 2.
1
4 mx - 3 = (2 - m)x + 2m (1) ⇔ 2(1 - m)x + 2m + 3 = 0 (2)
Với m = 1 phương trỡnh (2) trở thành 5 = 0 ⇒ (2) vụ nghiệm ⇒ (1)
vụ nghiệm,
Với m ≠ 1 phương trỡnh (2) cú 1 nghiệm x =
Kết luận: m = 1: pt vụ nghiệm
m ≠ 1: pt cú 1 nghiệm x =
1
5
a) = (1; - 7)
= (9; - 3)
Ta có ≠ suy ra , không cùng phơng hay 3 điểm A, B, C không
thẳng hàng
Vậy 3 điểm A, B, C lập thành một tam giác
b) D nằm trên trục hoành nên tọa độ D có dạng (x; 0)
ABCD là hình thang nên và cùng phơng
= (x - 4; - 3)
Ta có và cùng phơng ⇔ = ⇔ x =
Vậy D(; 0)
0.25
0.5 0.25
1
6
a) Ta cú: (1; 3), (3; -1)
= 1.3 + 3.(-1) = 0 ⇒ ⊥ hay tam giỏc ABC vuụng tại B
Mặt khỏc BA = BC =
Vậy tam giỏc ABC vuụng cõn tại B ()
b) Chu vi tam giỏc ABC là: AC + BA + BC = + + =
= (2 + )
1
2 2
Trang 4
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012
-2013
TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10
- Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (3 điểm) Tìm hàm số
thỏa mãn:
Câu 2 (2 điểm) Cho ba số
dương a, b, c thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 3
(1 điểm) Cho tam giác ABC với , , và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng
Câu 4 (3 điểm) Trên mặt
phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với , và
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính độ dài phân giác trong của góc A.
c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Học sinh chỉ được làm một trong hai câu sau:
Câu 5a (1 điểm) Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu một trận
với các đội khác Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu
số trận như nhau
Câu 5b (1 điểm) Giả sử rằng n là một số lẻ Đầu tiên ta viết các số từ 1
tới 2n trên một bảng đen Sau đó ta chọn ra hai số a, b bất kì xoá chúng và
thay thế chúng bởi Ta cứ làm liên tục như thế đến khi trên bảng còn lại một
số Chứng minh rằng số còn lại cuối cùng là một số lẻ
Hết
-:
f x +xf − = +x x ∀ ∈x ¡
1
a b c+ + =
T
− − − aIA bIB cICuur+ uur+ BC a CA b AB cuur r====0
( )2;4
A B( ) ( )2;16;1
C
a b−
Trang 5TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012
- 2013
TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10
- Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1 Đặt , ta được: Ta có hệ:
Thử lại hàm số cần tìm là:
Câu 2 =
Ta có ;
⇒
Dấu "=" xảy ra khi và
chỉ khi
Vậy
Câu 3 Sử dụng tính chất đường phân giác
trong tam giác.
Câu 4 a) Tam giác vuông tại B.
b) Phân giác
c)
Câu 5a Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có
1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9 Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau.
Câu 5b Gọi S là tổng của tất cả các số trên
bảng Lúc đầu ta có S=1+2+3+…
+2n=n(2n+1) là một số lẻ vì n là một số lẻ Ta cần tìm đại lượng bất biến Nhận thấy rằng sau mỗi lần thực hiện thuật toán như trong đầu bài đã nói thì S sẽ bị mất đi một đại lượng có giá trị bằng
Vì thế tính chẵn lẻ của S được giữ nguyên sau mỗi lần thực hiện thuật toán Trong trường hợp của chúng ta thì S luôn là một số lẻ và vì thế khi trên bảng còn lại một số thì số đó là số lẻ.
t= −x
( ) ( ) 1
f − −t tf t = − + ∀ ∈t t ¡
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1
f x xf x x
f x
f x( ) = 1
T
0 < 1 − +a 1 − +b 1 − ≤c 6
6 2 6
T ≥ − =1
3
a b c= = =
6 min
2
T =
3 5 2
AD I( )= 3;2
2min{ , }a b
Trang 6ờng thpt chuyên tn kỳ thi chất lợng học kỳ I năm học 2012-2013
Môn thi: Toán - Lớp 10 – Chơng trình Nâng cao
đề thi chính thức Thời gian làm bài: 90 phút
Câu I: (1,5 điểm)
Xét tính chẵn lẻ của hàm
số: f(x) =
Câu II: (3 điểm)
Cho phơng trình: 2x 2 +2x.sinα = 2x + cos 2α (1) với α €
1, Giải phơng trình (1) khi α = 0.
2, Tìm α € để phơng trình (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 sao cho tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu III: (1,5 điểm)
Giải phơng trình 3x 2 -5x -2
- 2 = 0
Câu IV: (3 điểm)
Trong mặt phẳng (xoy) cho ∆ ABC biết A(2;1); B(-1;3); C(1;6)
1, Chứng minh rằng ∆ ABC vuông cân; Tính diện tích ∆ ABC ?
2, Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trọng tâm của ∆ BCD.
3, Gọi AI là đờng phân giác trong của góc BAC Xác định toạ độ I ?
Câu V: (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi ∆ ABC có :
-
Hết -Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… Chữ ký giám thị:
+ + − + − −
[ ]0, π
[ ]0, π
2
3x − 5x+ 1
0
Trang 7ĐÁP ÁN TỐN 10 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câ
u
I Xét tính chẵn lẻ của
hàm sơ
ĐK:
TXĐ của hàm số là:
0,5
0,25 0,5
phương
trình:
0,5 Kết luận: khi phương trình
cĩ hai nghiệm
0,25
Pt đã cho luơn cĩ 2
nghiệm
0,25
Theo định lý Viet, ta
cĩ:
0,25 0,5
Để A nhỏ nhất thì lớn nhất bằng 1 hay Khi đĩ giá trị
nhỏ nhất của A bằng 0
0,5
III Giải phương
trình:
Đặt
0,25
Phương trình đã cho
trở thành:
0,25
0,25
Với , ta cĩ:
0,5
Kết luận: Tập nghiệm của
phương trình là
0,25
IV Trong mặt phẳng
Oxy cho biết
( ) x 11 x 11
f x
+ + −
=
− − +
x+ ≠ − ⇔ ≠x x
{ }
\ 0
D = ¡
∀ ∈ ⇒ − ∈
,
− + + − − + + −
− + − − − − − +
( )
f x
( )
2x + 2 sinx α = 2x+ cos α 1 , α∈ 0;π
0
2
2x = 2x+ 1
2
2
2
x
x
=
=
0
2
x= ±
( )1 ⇔ 2x2 + 2 sin( α− 1) x− cos 2α = 0
/ sinα 1 2cos 2α 0, α 0;π
1 , 2 0;
x x ∀ ∈ α π
1 2
2
1 2
1 sin cos 2
x x
x x
α α
+ = −
=
2 2sin
α
= −
sinα
2
π
3x − 5x− 2 3x − 5x+ − = 1 2 0
2
3x − 5x+ = 1 t t≥ 0
2 3 2 5 1
t − − =t
( )
1 3
t loại t
= −
⇔
=
t=3
3
x
x
= −
− + = ⇔ − − = ⇔ =
8 1;
3
T = −
ABC
∆
( ) (2;1 , 1;3 ,) ( )1;6
Trang 81
và AB = BC vuông cân tại
B
0,5
0,5
3 Theo tính chất đường phân giác, ta có: 0,25
0,25
0,25 0,25
Vế trái của
0,25
ABC
⇒ ∆
⇒ = uuurAB= −( 3;2 , = ) ACuuur= −(= 1;5 ,) ⇒BCuuur=( )2;3 + =
2
ABC
S∆ = 2D x y AB( ); 1 1 = ñvdt
3
3 6 1
3
x y
= − + +
⇒ + +
=
6 6
x y
=
⇔ = −
(6; 6)
D −
( )
AC IC= ⇔ IC = ⇔ =
uur uur
I x y BIuur= x+ y− ICuur = −x −y
( )
1 1
2 2 3 2
*
3 2
x x
x
y
+ = −
(2 2 3; 2)
I ABC−
∀∆
( )
0 *
=
2 2 4 2 sin 2 sin 2 4 2 cos 2 cos 2
b − =c R B− C = R C− B
2
*
0