1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. 2 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C, trục Ox và hai đường thẳn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012 – 2013 GIA LAI LỚP 12 – HỆ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số 2
1
x y x
-=
-
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị (C), trục Ox và hai đường thẳng x=2, x= 4
Câu 2 (2,0 điểm) Tính các tích phân:
1) 4
2 0
1 tan
cos
x
x
p
+
1
0
J =ò x x + +x dx
Câu 3 (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) lần lượt
có phương trình: (P): x+2y+2z + = và (S): 5 0 x2+y2+z2-10x-2y-6z+10 0=
1) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung
2) Từ điểm A nằm trên mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B Tìm tọa
độ điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất
II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4A (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)
lần lượt có phương trình: : 2 1
- và ( ) :P x y z+ + - = Viết phương trình mặt 3 0
phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)
Câu 5A (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 3z2-6z+ =7 0 với ẩn z trên tập số phức
2) Tìm số phức z thỏa mãn 2 2 2
1
i
- sao cho số phức z có môđun nhỏ nhất
Phần 2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4B (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng lần lượt có phương
trình ( ) :P x y z- + =0, ( ) :Q x+4y z+ - =5 0, ( ) : 2R x y z- - + =7 0 Viết phương trình mặt phẳng (a ) qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R)
Câu 5B (2,0 điểm)
1) Giải bất phương trình: 32x-8.3x x- 2 -9.3- 2x2 >0
2) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z z =13 và số phức (2 3 )+ i z là một số thực
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012 – 2013
GIA LAI LỚP 12 – HỆ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bản hướng dẫn chấm có 4 trang
I Hướng dẫn chung
· Học sinh làm theo cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa
· Làm tròn điểm theo quy định chung của Bộ cho Hệ trung học phổ thông
II Đáp án và thang điểm
1) (2,0 điểm)
b Sự biến thiên
· Chiều biến thiên: ' 3 2 0,
( 1)
x
= > " Î
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-¥ và (1;;1) +¥ )
· Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
0,50
· Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
®+¥ = ®-¥ = - ;
® = -¥ ® = +¥
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=1và một tiệm cận ngang là đường thẳng y= -1
0,50
· Bảng biến thiên:
x -¥ 1 +¥
y’ + || +
y
+¥ -1 -1 -¥
0,25
c Đồ thị:
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
0
(C) cắt trục tung tại (0;2) và cắt trục hoành tại (-2;0)
0,50
Câu 1
(3,0 điểm)
2) (1,0 điểm)
Trang 3Thể tích của khối tròn xoay được tính bởi:
2
x
4
2
9
1
x
1) (1,0 điểm)
cos
x
4
x= Þ =u x= Þ =p u
1 1
4 1
2) (1,0 điểm)
Đặt
2
2 2
3
1
x
+ ì
=
0,50
Do đó:
1 1
2 0 0
1
x
+
-+ -+
ò
2
0 (2x 1)(x 1)dx (2x x 1)dx
Câu 2
(2,0 điểm)
1
0
1) (1,0 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm I(5;1;3), bán kính R= 25 1 9 10 5+ + - = 0,50 Mặt khác: ( ,( )) 5 2 2.3 5 6
1 4 4
+ +
Suy ra mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung
0,50
2) (1,0 điểm)
Theo giả thiết, ta có AB2 =IA2-R2 Khi đó đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất khi đoạn thẳng IA đạt giá trị nhỏ nhất
Suy ra A là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P)
0,25 Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến nr=(1;2; 2)
Giả sử A a b c( ; ; )ÞIAuur=(a-5;b-1;c-3) 0,25
Câu 3
(2,0 điểm)
Vì A là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P) nên uurIA
cùng phương với vectơ nr=(1;2; 2)
và AÎ( )P Do đó:
Vậy A(3; 3; 1)- -
0,50
Trang 4Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ur=(1; 1;1)
-và đi qua điểm (0;2; 1)
A - , mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến nuurP =(1;1;1)
Suy ra [ , ] (2;0; 2)n uuur rP =
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)
Câu 4A
(1,0 điểm)
Do đó ( Q ): 2(x- +0) 0(y- -2) 2(z+ = Û - - =1) 0 x z 1 0 0,50
1) (1,0 điểm)
' ( 3) 21 12 (2 3 )i
D = - - = - = Suy ra D' có hai căn bậc hai là ±2 3i 0,50
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm là:
1 3 2 3 1 2 3
i
i
2) (1,0 điểm)
Giả sử z x yi= + ; x y, Ρ
Ta có 2 1
1 i = +i
-0,25
1
i
- (*)
Û + + +x yi 2 2i = + + + x yi 1 i
Û (x+ +2) (y+2)i = (x+ +1) (y+1)i
Û (x+2)2+(y+2)2 = (x+1)2+(y+1)2 Û + + =x y 3 0 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn M x y( ; ) của số phức z thỏa điều kiện (*)
là đường thẳng d x y: + + =3 0
0,25
Câu 5A
(2,0 điểm)
Môđun của z nhỏ nhất khi điểm biểu diễn M của số phức z nằm gần gốc tọa độ O nhất
Mà M Îd , suy ra M là hình chiếu của O trên đường thẳng d
Ta nhận thấy đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A(-3;0) và cắt trục Oy tại điểm B(0;-3)
Suy ra DOAB vuông cân tại O, OM ^ABÞM là trung điểm của AB
hay 3; 3
Mæ- - ö
è ø Vậy
3 3
2 2
z= - - i
0,50
Các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt có vectơ pháp tuyến nuurP =(1; 1;1)
-, (1;4;1)
Q
n =
uur
, nuurR =(2; 1; 1)
- [ ,P Q] ( 5;0;5)
Þ =r uur uur =
-0,25
Suy ra nr r uur=[ ,u n R] (5;5;5)=
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( a )
Lấy điểm A(0;1;1) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
( )
Þ Î
0,25
Câu 4B
(1,0 điểm)
Do dó, ( ) : 5(a x- +0) 5(y- +1) 5(x- =1) 0
1) (1,0 điểm)
Câu 5B
(2,0 điểm) Ta có 2 2 2 2
3 x- 8.3x x- - 9.3 - x > 0 Û -1 8.3- -x2 x-9.32( - -x2 x) > 0 0,25
Trang 5Đặt t=3- -x2 x,t> Ta được bất phương trình: 0 2 1
9
t + - < Û - < < t t
Đối chiếu điều kiện, ta được 1 2 1 2 2
Û - - < - Ûx2 x 2 x2+ - >x 2 0 2
1
x x
< -é
Û ê >
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = -¥ - È +¥( ; 2) (1; ) 0,25
2) (1,0 điểm)
Giả sử z x yi= + ; x y, Ρ Suy ra (2 3 )+ i z=(2 3 )(+ i x yi+ ) (2= x-3 ) (3y + x+2 )y i là số thực khi
3
2
x+ y= Û = -y x
0,25
Mặt khác
2
2
z z= Û x +y = Ûx + -æ xö = Ûx = Û = ±x
Với x= Þ = -2 y 3 Với x= - Þ =2 y 3
0,50 Vậy có hai số thức thỏa yêu cầu bài toán là z= -2 3i, z= - +2 3i 0,25
- Hết -