Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trờn cạnh BC sao BN = BM.. Tớnh tổng diện tớch hai tam giác BCE và tam giác BEN.. Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH.
Trang 1Đề thi học sinh giỏi môn toán 9
năm học: 2009-2010
Thời gian :150 phút(không kể thời gian chép đề)
*******************************************************
Bài 1 (2 điểm) :
a)Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương
b)Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: x( y – 2) + 3y = 27
Bài 2:(2 điểm)
a)Cho ba số x,y,z ≠0 thoó món đẳng thức : x+ y = x+z+ y+z Chứng minh rằng:
1x +1y+1z = 0
b)Tính giá trị của biểu thức: A=x+y, biết
( x2 + + 5 x)( y2 + + 5 y)=5
Bài 3 ( 2 điểm )
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài
4 (2 điểm): Cho tam giác ABC đều cú cạnh bằng 1 Trờn cạnh AC lấy các điểm
D, E sao cho ∠ ABD = ∠ CBE = 200 Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trờn cạnh BC sao BN = BM Tớnh tổng diện tớch hai tam giác BCE và tam giác BEN
Bài 5 (2 điểm): Cho đường trũn (O) đường kớnh AB Từ một điểm C thuộc đường
trũn (O) kẻ CH vuụng gúc với AB (C khác A và B; H thuộc AB) Đường trũn tõm C bán kớnh CH cắt đường trũn (O) tại D và E Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH
*********************************************************
Đáp án và biểu điểm chấm môn toán 9
Trang 2Bài1: (2điểm)
a)(1điểm) Ta cú:
=
−
= +
2
2
65
24
h n
k n
65
24 2
2 − = +
⇔k h ⇔(k−h)(k+h)= 89 = 1 89(0,25đ)
=
=
⇒
=
−
=
+
⇔
44
45 1
89
h
k h
k
h
k
(0,5đ) Vậy: n = 452 – 24 = 2001 ( 0,25đ)
b)(1điểm) Ta có: x(y-2)+3y = 27⇔x(y-2)+3(y-2) = 21⇔(y-2)(x+3) = 21
(0,25đ)
⇔ x y+ =− =3 72 3
hoặc :
3 21
2 1
x y
+ =
− =
4 5
x y
=
⇔ =
hoặc :
18 3
x y
=
=
(0,5đ)
Vậy : Nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh là : (4 ;5) ; (18 ;3) (0,25đ)
Bài 2: (2đi ểm )
a) (1điểm)
Điều kiện: x+y; y + z ; x + z ≥ 0 (0,25đ)
Xột: x+y = x+z + y+z (1) Bỡnh phương hai vế của(1) ta được: (x+z)(y+z) = - z (2) (0,25đ)
Do đú: z < 0 => x, y > 0 Bỡnh phương hai vế của (2) ta được: (x + z)(y + z) = z2 (0,25đ)
xy + xz + yz = 0 (0,25đ)
1x+ 1y+1z
b)(1điểm)
Ta có:( x2 + + 5 x)( x2 + − = 5 x) 5 (0,25đ)
Kết hợp
⇒ + − = + + hay x+y= x2+ −5 y2+5 (0,25đ)
Chứng minh tơng tự ta có x+y= y2 + − 5 x2 + 5 (0,25đ)
2(x+y)=0 ⇔x+y=0 (0,25đ)
Bài 3: (2điểm)
a) (1điểm) : A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phơng trình đờng
thẳng AB có dạng y = ax + b (0,25đ)
A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = 2
B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4 (0,25đ)
Giải hệ ta có a = 3; b = -13 (0,25đ)
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13 (0,25đ )
b)(1điểm) Giả sử M (x, 0) ∈ xx’ ta có
MA = (x− 5) 2 + − (0 2) 2
MB = (x− 3) 2 + + (0 4) 2 (0,25đ)
MAB cân ⇒ MA = MB ⇔ (x− 5) 2 + = 4 (x− 3) 2 + 16 (0,25đ)
Trang 3⇔ (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16
KÕt luËn: §iÓm cÇn t×m: M(1; 0) (0,25®)
Bµi 4:(2®iÓm) Kẻ BI ⊥ AC ⇒ I là trung điểm AC
Ta có: ∠ ABD = ∠ CBE = 200⇒∠ DBE = 200 (1) (0,25®)
∆ ADB = ∆ CEB (g–c–g)
⇒ BD = BE ⇒ ∆ BDE cân tại B ⇒ I là trung
điểm DE (0,25®)
mà BM = BN và ∠ MBN = 200
⇒∆ BMN và ∆ BDE đồng dạng (0,25®)
⇒
2
1 4
BMN
BED
= ÷ =
(0,25®)
⇒ SBNE = 2SBMN = 1
2S BDE= SBIE (0,5®) Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = 1 3
2S ABC = 8
(0,5®)
⇒∆ CKJ và ∆ COH đồng dạng (g–g)
⇒ CK.CH = CJ.CO (1) (0,5®)
⇒ 2CK.CH = CJ.2CO = CJ.CC' (0,5®)
mà ∆ CEC' vuông tại E có EJ là đường cao
⇒ CJ.CC' = CE2 = CH2
⇒ 2CK.CH = CH2
(0,5®)
⇒ 2CK = CH
⇒ K là trung điểm của CH (0,5®)
A
D E M
N
I
B
C
C'
H D
E J
K