Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 chọn lọc (8)

Biết với mọi giá trị nguyên của x thì fx chia hết cho 7.. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.. Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.. a/ Chứng minh hai gó

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học : 2005 - 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: 7

Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và

c( b + d) = 2bd Chứng minh ( b a d c





) 8 = 88 88

d b

c a





Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết:

3

2 4

3

 - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: 3  y + 2x  y = 0

Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42

b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và

a 0 Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.

Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.

Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41

b/ Biết x  Q và 0 < x < 1 Chứng minh xn < x với n  N, n2

Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và

AF cắt nhau tại H Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.

b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD

-ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài 1 (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d = 2bd c (0,5đ)

Viết b a d c





= 22bd bc = d c (0,5đ) Suy ra

b

a

=

d

c

=

d b

c a





(0,5đ) Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ)

Bài 2 (2đ) a/ Tính được x

3

2 4

3

4

1

(0,5đ) Tìm được x =

4

3

, x =

2

3

(0,5đ) b/ Nêu 3  y  0 và 2x  y  0 (0,25đ)

Để có 3 y + 2x  y  0 (0,25đ) Suy ra 3  y = 0 và 2x  y = 0 (0,25đ) Tìm được x = 23 và y = -3 (0,25đ)

Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ)

Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời (0,5đ) b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7 (0,25đ) f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra b chia hết cho 7 (0,25đ)

Bài 4 (2đ) a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2 (0,25đ)

Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4 (0,25đ) Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4 (0,25đ) Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài (0,25đ) b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 ) (0,25đ) + 0 < x < 1 nên xn-1 < 0 và x > 0 (0,25đ) Suy ra: xn - x < 0 (0,25đ) + Suy ra điều phải chứng minh (0,25đ)

Bài 5 (2đ) a/ Nêu được AK  MC (0,5đ)

Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau (0,5đ) b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ) Viết được AB - AC > BD - CE Suy ra: BM > BD – MN (0,25đ)

Hạ MI  BD và chứng minh BM > BI (0,25đ) Kết luận AB + CE > AC + BD (0,25đ)