Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 chọn lọc (4)

Gọi H là trung điểm của BC.

Trường thcs 2 thị trấn thanh ba

Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh năng khiếu lớp 7

Năm học 2012-2013

Môn thi: toán

Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề )

( Đề thi gồm 01 trang )

Câu 1 ( 1,5 điểm )

Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy.

Chứng minh rằng: x = y = z

Câu 2( 2 điểm )

a) Tỡm x biết: 5x + 5x+2 = 650

b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )2008 + y  7 2009  0

Câu 3 ( 2 điểm )

Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z

Biết f(1) 3; (0) 3; ( 1) 3 f  f   Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

Câu 4( 3,5 điểm )

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho BM

= MN = NC Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh AM = AN và AH  BC

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm

c) Chứng minh MAN > BAM = CAN

Câu 5 ( 1 điểm )

1007 1008 2012 2013

Tính S P 2013.

b) Cho A=

3

1





x

x

Tìm x Z để A có giá trị là một số nguyên

Hết

Hướng dẫn chấm toán 7

1

Vì x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy 

y x z y xz  y z x.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 

1

 

 

1

0,5

2

a) 5x + 5x+2 = 650

 5x ( 1+52 ) = 650

 5x = 25

 5x = 52

=> x = 2

b) Ta có (3x -33 )2008 0

y  7 2009 0

Suy ra (3x -33 )2008 + y  7 2009 0

Mà (3x -33 )2008 + y  7 2009  0 (Theo đề bài )

Nên (3x -33 )2008 + y  7 2009 = 0

 (3x -33 )2008 =0 và y  7 2009 = 0

 x =11 và y =7

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0.25

0,25 0,25

3 Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

 

) (0) 3 3

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2 3a  a3 vì ( 2; 3) = 1  b3

Vậy a , b , c đều chia hết cho 3

0,5

0,5

0,5

a

Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN

Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900

 AH  BC

0,5 0,75

b Tính AH: AH

2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16  AH = 4cm Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17  AM = 17 cm

0,5 0,75

c

Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c- g- c) 

MAN = BKM và AN = AM =BK Do BA > AM  BA > BK  BKA > BAK

 MAN >BAM=CAN

0,25 0,25 0,25

Ta có:

1007 1008 2012 2013

0,25

A

B C

M H N

K

Do đó S P 2013=0 0,25

Tìm xz để AZ

A=

3

4 1 3

1











x x

x

( đk x≥0 , x≠9 )

A nguyên khi

3

4



x nguyên  x 3 là Ư (4) Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4

Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49

0,25

0,25