Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 A PHẦN RIÊNG 3,0 điểmThí sinh chỉ làm một trong hai phần phần A hoặc phần B A..
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn thi: TOÁN; Khối A
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số yx33x24
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau
Câu II(2 điểm):
1) Giải phương trình: sin x sin 2 sin cos 2 2s inx cos 6 os2
sin
4
x
2) Giải phương trình: 3 2 3
x x x x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3
2 1
log
1 3ln
e
x
Câu IV(1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC 3 ; a AB 2 ; a ABC 600; A’C tạo với (ABB’A’) một góc 300, M là trung điểm BB’ Tính thể tích khối chóp AMCB và khoảng cách giữa AM và BC
Câu V(1 điểm:) Cho x y z , , 0 : x+y+z Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1
A
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa( 2 điểm): 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn tâm O có phương trình:
2 2
16
x y Viết phương trình đường tròn tâm K(3;4) sao cho đường tròn tâm K cắt (O) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4 3 và AB là cạnh lớn nhất của tam giác OAB 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 đường thẳng
thẳng vuông góc với d1, cắt d2 và d3 tại hai điểm A, B sao cho AB 3
Câu VIIa) (1 điểm): Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,7,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8
chữ số phân biệt sao cho trong mỗi số đó không có bất kỳ 2 chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb( 2 điểm) : 1) Cho Elip có các tiêu điểm F1 3;0 ; F2 3;0 , có các đỉnh là
1; 2; 1; 2
A A B B Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1) cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M
là trung điểm AB, biết diện tích tứ giác A B A B1 1 2 2bằng 40
Trang 22) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 = 0 và đường thẳng (d):
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d), I cách (P) một khoảng bằng
2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 3
Câu VIIb) (1 điểm):Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i 1.Tìm số phức z có modul nhỏ nhất
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 3Đáp án: ÐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013
Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ Môn thi : TOÁN; Khối: A
m
y
1 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
x x
2 3 x x
0.25
b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = 0 x = 0, x = 2 Bảng biến thiên:
x - 0 2 + y' + 0 - 0 +
y
4 +
- 0
0.25
- Hàm số đồng biến trên (-; 0) và (2; +), nghịch biến trên (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0
0.25
3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1;
0),(2; 0) Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0.25
2(1
điểm)
Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc
d qua A(3 ;4) có hệ số góc m có phương trình y = m(x – 3) + 4 0.25 Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình
0 m x
3 x 0 ) m x )(
3 x ( 4 ) 3 x ( m 4 x
0.25
x
y
4
2
1
Trang 4Yêu cầu bài toán tương đương điều kiện m > 0 m và 9
1 ) m ( ' y ).
m ( '
0.25
3
mãn)
0.25
2(2
điểm)
1(1
điểm) Giải pt :
sin x sin 2 sin cos 2 2s inx cos
6 os2 sin
4
x
Điều kiện: 3
4
Phương trình tương đương với:
2sin cos 2cos sin sin cos
6 cos 2 1
sin cos 2
2sin cos 1 3 cos 2
x
4
12
0.25
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của pt là:
12
x x x x
Phương trình tương đương : 3 3
Đặt x6 y0 ta có pt:
TH1 :
2
0
6 0
x
TH2 :
2
0
x
0.25
Đối chiếu điều kiện suy ra nghiệm của pt : x=3 ;x= 2 2 7 0.25
Trang 53 (1 điểm)
Tính tích phân
3
2 1
log
1 3ln
e
x
3
3
ln
.
ln 10
x
x
0.25
dx
x
x=1, t=1 ; x=e,t=2
0.25
2
3
2
2
1 1
1 3ln
x
t
0.25
2 3
1
9 ln 10 3 27 ln 10
I t t
0.25
3
V MB S
Có
2 0
.sin 60
ABC
a
Kẻ CH vuông góc với AB Khi đó CH ABB A' ' nên hình chiếu của A’C trên (ABB’A’) là A’H Suy ra góc giữa A’C và (ABB’A’) là
0
' 30
CA H
0.25
B’
B
A
C
K
D
H
M
Trang 6Ta có theo định lý hàm số côsin :
0 3 3 sin 60
2
a
xét tam giác A’HC có :
0
sin 30
CH
Suy ra
3
a
0.25
Dựng hình bình hành ACBD
Kẻ BK vuông góc AD Khi đó AD vuông góc (MBK) nên (ADM) vuông góc với (BMK) Kẻ BE vuông góc MK thì BE vuông góc với (ADM)
0.25
Ta có 12 1 2 12
BE BM BK
7
ABC
BE
a BE
13
a
d AM BC d B ADM BE
0.25
5 (1 điểm) Cho x y z , , 0 : x+y+z Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu 1
A
Trang 7
A
xz
xz
7
0
xyz
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x=0 hoặc y=0 hoặc z=0
Vậy giá trị nhỏ nhất của A=0 khi xyz=0
Mặt khác
2
1 2
A
x y z
0.25
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có :
2
2 2 2 2
2
2 2 2
Khi đó áp dụng ta có :
0.25
Trang 8
2
2 2 2
2
3
1
3
Suy ra 1 6 1
7 7
A Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1/3
Vậy giá trị lớn nhất của A=1/7
Câu
6a)
(2
điểm)
1)
(1 điểm)
Đường trịn tâm O bán kính R=4 ; OK=5 nên K nằm ngồi đường trịn
0 0
60 120
OAB
AOB AOB
0.25
mà AB là cạnh lớn nhất trong tam giác AOB nên AOB 1200
Gọi H là trung điểm AB Ta cĩ 1 2 3; cos 600 2
2
0.25
0.25
Vậy cĩ 2 đường trịn thỏa mãn điều kiện đề bài : TH1 : Đường trịn tâm K(3 ;4) bán kính R ' 21 cĩ pt là :
x32y42 21 TH2 : Đường trịn tâm K(3 ;4) bán kính R ' 61 cĩ pt là :
x32y42 61
0.25
2)
1 điểm
A d t: A(1+t;-1+2t;t) và B d t': B(-t';1+t';2+2t')
' 1;2 ' 2; 2 ' 2 là vtcp của ,
0.25
1
3 1; 2; 3 2
d
0.25
Trang 9
2
Mặt khác, BA=3 nên 3 1 2 3 2 9
0
1
t
t
0.25
1
Với t=0 ta có A(1;-1;0); 1; 2; 2 Ptct của :
Với t=-1 ta có A(0;-3;-1); 2; 2;1 Ptct của :
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán đó là
1 : 1
BA
BA
; :
0.25
Câu
7a)
1 điểm Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là a a1 2 a a 8 1 0
Xét cả trường hợp số 0 đứng đầu
Trong các số 0,1,2,3,4,5,7,9 cĩ tất cả 5 số lẻ, 3 số chẵn
Thay đổi vị trị của 5 số lẻ trên cĩ 5! cách thay đổi
Khi đĩ giữa 5 số lẻ tạo ra 6 khoảng trống ( bao gồm cả vị trị đầu và vị trí cuối)
Để cĩ được điều kiện khơng cĩ bất kì 2 chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau ta xếp 3 chữ số chẵn xen kẽ vào giữa các chữ số lẻ Như vậy ta xếp 3 chữ số chẵn vào 3 trong 6 khoảng trống mà 5 chữ số lẻ tạo ra cĩ A cách xếp 63
Vậy cĩ 5!.A63 các số thỏa mãn yêu cầu bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu
0.5
Xét trường hợp a 1 0 Khi đĩ vẫn cĩ 5 ! cách xếp 5 chữ số lẻ
Cịn lại 2 chữ số chẵn xếp vào 2 trong 5 khoảng trống cịn lại giữa các chữ
số lẻ
Vậy trường hợp này cĩ 5!.A số 52
0.25
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là 5!.A63-5!.A52=12000 số 0.25 Câu
6b)
(2
điểm)
1)
2 2
2 2 1 , 0
a b
Do Elip cĩ hai tiêu điểm là F1 3;0 ; F2 3;0 nên c=3a2b2 c2 9
Lại cĩ diện tích tứ giác 1 1 2 2 40 1.2 2 40 20
2
0.25
Giải hệ trên ta cĩ a=5 ;b=4 Suy ra pt chính tắc của Elip là
2 2
25 16
0.25
Trang 10Nhận xét đường thẳng (d) qua M không có hệ số góc có pt x=1 cắt Elip tại
2 điểm A, B không thỏa mãn điều kiện M là trung điểm AB
Xét (d) có hệ số góc k qua M(1 ;1) có pt : yk x 11 (d) cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm AB khi pt
2 2
16x 25 kx k 1 400(3)
có hai nghiệm phân biệt x x1; 2:x1x2 2x M 2
0.25
25k 16 x 50k k 1 x 25 k 1 400 0
(4) có hai nghiệm phân biệt x x1; 2:x1x2 2x M 2 khi :
0
16 ( )
25 2
k k b
Vậy pt (d) cần tìm là 16 41
y x
0.25
2)1 điểm Do tâm I thuộc (d) nên I t; 1 2 ; 2t t
I cách (P) một khoảng bằng 2 nên
4 1 4
0.25
11 6 1 6
t t
11 14 1
1 2 13
; ;
6 3 6
I I
0.25
Do d(I ;(P))=2=IH với H là hình chiếu của I trên (P)
Do đường tròn giao tuyến có bán kính r=3 nên bán kính mặt cầu là
2 2
0.25
Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn điều kiện đề bài :
1
2
0.25
Câu
7b)
1 điểm Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i 1 Tìm số phức z có modul nhỏ
nhất
Xét biểu thức z 3 4i 1 (1) Đặt z = x + yi, x y , Khi đó (1) trở thành
0.25
Trang 11( 3) ( 4) 1
Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(3 ;4) bán kính R=1
Ta có z OM nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M nằm trên đường tròn (C)
và gần O nhất Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn
0.25
Ta có OI = 5 Kẻ MH Ox ;MK Oy Ta có
OH
OK OI
0.25
Vậy số phức z cần tìm là
z i
0.25