Tính độ dài đường chéo AC.. Xác định công thức của số hạng tổng quát un.. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết R = √ 3+1r.. Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường t
Trang 1Bo
xMath
DIỄN ĐÀN
BOXMATH.VN
π
ĐỀ SỐ 01
ĐỀ TỰ LUYỆN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2013
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm) Giải hệ phương trình:
(
x3+ 3x2y − 24xy2− 52y3+ 24y2+ 3y = 1
x2+ 4y2− 2xy − 4y = −1
Câu 2 (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng 18 và AB + BD + DC = 12 Tính độ dài đường chéo AC
Câu 3 (3,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau
x3+ y3− 3xy = 3 Câu 4 (3,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
u1 = 1, u2 = 3
un+1= u
2
n− 4
un−1 , ∀n ≥ 2 Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta luôn có un là số nguyên Xác định công thức của số hạng tổng quát un
Câu 5 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có A(1; 1) và phương trình BC là x−y +1 = 0 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết R = (√
3+1)r (Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC)
Câu 6 (3,0 điểm) Cho các số thực a, b, c ∈ [0; 1] Chứng minh rằng
a 2a + 1 +
b 2b + 1+
c 2c + 1 ≤ 1 Câu 7 (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗, ta luôn có:
1 (n + 2) C1
n+1
(n + 3) C2
n+2
(2n + 1) Cn
2n
< 1
n (n + 1)
HẾT