Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C.. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số C biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5.. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.. Tìm điểm
Trang 1
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT
QUỐC GIA LẦN 1 - NĂM 2015
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y =
1 Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
(C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5
Câu 2 (0.5 điểm) Giải bất phương trình: log3(x – 3 ) + log3(x – 5 ) < 1
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân: I =
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình thang vuông tại A, D, SA vuông góc với đáy SA = AD = a , AB = 2a
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Tính khoảng cách giữa AB và SC
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian O.xyz cho A(1;2;3), B(-3; -3;2 )
1 Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
2 Tìm điểm M nằm trên trục hoành sao cho M cách đều hai điểm A, B
Câu 6 (1 điểm) Giải phương trình: 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
Câu 7 (0.5 điểm ) Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập T
Tính xác suất để số được chọn lớn hơn 2015
Câu 8 (1điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A B, C là hai điểm đối xứng nhau
qua gốc tọa độ Đường phân giác trong góc B của tam giác có phương trình x + 2y - 5= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua K(6;2)
Câu 9 (1 điểm) Giải hệ phương
trình
Câu 10 (1 điểm) Cho a, b, c thuôc
đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
-
Hết
-Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh………
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT
QUỐC GIA LẦN 1
2 1
( ) 2
x C x
+
−
2
1
1
x x− dx
∫
2
2
2
2 4
a b
+
Trang 2CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1 TXĐ: D = R \
y’ = < 0 với mọi x thuộc D
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ;2 ) và (2 ; +), hàm số không có cực
trị
0.25
nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị
nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị
0.25
Bảng biến thiên
x - 2 +
y’ - -
+
2
2
-0.25
Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; ) , cắt trục hoành tại (; 0) điểm I(2;2) là tâm đối
xứng của đồ thị
y
2
O 2 x
0.25
2 Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm , k là hệ số góc của tiếp tuyến Phương trình
tiếp tuyến tại M có dạng: y = k(x- x0) + y0 , y’ 0.25
Hệ số góc k = -5 y’(x0) = -5 (x0 – 2)2 = 1 x0 = 3 hoặc x0 = 1 0.25 Với x0 = 3 thì M(3;7) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 22 0.25 Với x0 = 1 thì M(1;-3) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 2 0.25 Câu 2 Giải bất phương trình: log3(x – 3 ) + log3(x – 5 ) < 1 (*)
ĐK: x > 5
(*) log3(x – 3 )(x - 5) < 1 (x – 3 )( x - 5) < 3 0.25
x2 – 8x +12 < 0 2 < x < 6
2 1
( ) 2
x C x
+
−{ }2
( )2
5 2
x
−
−∞∞
2
x − y
2
lim
x + y
lim lim 2
x y x y
→−∞ = →+∞ =
∞
∞
∞
1 2
−1 2
−
( )2
5 2
x
−
−
⇔
⇔
⇔
Trang 3Kết hợp ĐK thì 5 < x < 6 là nghiệm của bất phương trình 0.25
Đặt = t thì x = t2 + 1 , dx = 2tdt
Câu 4
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
SA vuông góc với mp đáy nên SA là đường cao của khối chóp, SA = a
Trong mặt phẳng đáy từ C kẻ CE // DA, E thuộc AB suy ra CE vuông góc với
AB và CE = DA = a là đường cao của tam giác CAB
0.25
Diện tích tam giác là S = CE.AB = a2
2 Tính khoảng cách giữa AB và SC
Ta có AB//DC nên d(AB, SC) = d(AB, SDC) Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ
AH vuông góc với SD (1), H thuộc SD
Ta có DC vuông góc với AD, DC vuông góc SA nên DC vuông góc với
mp(SAD) suy ra DC vuông góc AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH vuông góc với (SDC)
AH = d(AB, SDC) = d(AB, SC )
0.25
Trong tam giác vuông SAD ta
có AH =
0.25
Câu 5
1
Gọi I là trung điểm của AB thì I(-1;;) là tâm mặt cầu Bán kính mặt cầu R2=
Phương trình mặt cầu (x+1)2 +(y +)2 +(z )2 = 21/2 0.25
2 M nằm trên trục hoành nên M(x;0;0) (1-x ;2;3) , (-3-x;-3;2) 0.25
M cách đều A , B tức là MA2 = MB2
2
1
1
x x− dx
∫ x−1
1
0 1
t + t dt
∫1( 4 2)
0
t +t dt
∫ 5 3
5 3
t 1615+10t
H
E
C
B
D
A S
1 21 3
AH1=2 AD22 +
SA⇒=a
2
a
1 2
−5
2
1 2
5 2
−
MA
uuur
MB
uuur
Trang 4Hay (1-x)2+13 = (-3-x)2+13 x = 1
Câu 6 Giải phương trình : 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
4sinxcosx – 2cosx +2sin2x - 1– 7sinx + 4 = 0
2cosx(2sinx -1) + 2sin2x -7sinx +3 = 0
0.25
2cosx(2sinx -1) + (sinx -3)(2sinx – 1) = 0
(2sinx -1) (sinx + 2cosx – 3) =0
0.25
sinx = Hoặc sinx + 2cosx – 3 =0
Ta có: sinx + 2cosx – 3 =0 vô nghiệm vì 12 +22 < 32
0.25 Phương trình tương đương sinx = x= hoặc x=
0.25
Câu 7 Số phần tử của tập hợp T là = 840
Gọi là số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1,2,3,4,5,6,7 và lớn hơn 2015
Vì trong các chữ số đã cho không chứa chữ số 0 nên để có số cần tìm thì
a2
0.25
Vậy có 6 cách chọn a Sau khi chọn a thì chọn b,c,d có cách chọn
Xác suất cần tìm là P = =
0.25 Câu 8 Điểm B nằm trên đường thẳng x + 2y – 5 = 0 nên B(5 – 2b ; b)
B ; C đối xứng nhau qua O nên C(2b – 5 ; - b ) và O thuộc BC 0.25
Gọi I là điểm đối xứng của O qua phân giác góc B suy ra I(2;4)
(2b – 3 ; 4 – b ) , (11 – 2b ; 2 + b)
Tam giác ABC vuông tại A nên = 0 - 5b2 + 30b – 25 = 0
b= 1 hoặc b= 5
0.25
Với b= 1 thì B(3;1) , C(-3;-1) suy ra A(3;1) nên loại 0.25
trình
Đk : x Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y
(2) - + 1 – [3(x- y )]2 = 0
0.25
x > y 0 nên > 0 suy
ra 1–3x + 3y =0 0.25 Thay y = x – vào phương trình (1) ta được
9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + 9= 7
18x2 – 8x + 6x - + 9 - 3 = 0
(9x – 4 )= 0 x = vì x > 0
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔1
2
1 2
⇔
2
6 k
5 2
6 k
4 7
A abcd
≥
3 6
A
3 6 4 7
6A A
6 7
BI
uur
CKuuur
BI CK
uuuruuur⇔
⇔
31 17
;
5 5
2
2
x y7− +x−7y
⇔
2 6 6
⇔
2
1 3 3
+ + −
1 31 3
1 3
1 3
x⇔−
8 3
1 3
x⇔2−
3
9x−3
⇔
2
x
x
+ +
⇔4
9 4 9
1 9
4 9 1 9
Trang 5Câu 10 Cho a, b, c thuôc đoạn [1;2]
Tìm GTNN của P =
P = =
Ta có 4ab(a + b)2 nên P =
0.25 Đặt t = vì a, b , c thuộc [1;2] nên t thuộc [1;4]
Ta có f(t) = , f’(t) = > 0 với
Hàm số f(t) đồng biến trên [1;4] nên f(t) đạt GTNN bằng khi t = 1 0.25 Dấu bằng xảy ra khi a = b ; = 1, a,b,c thuộc [1;2] a =b = 1 và c =2
(MỌI CÁCH GIẢI ĐÚNG ĐỀU CHO ĐIỂM THEO THANG ĐIỂM TƯƠNG ỨNG)
2
2 4
a b
+
2
2 4
a b
+
2
2
a b
+
≤≥
2
2 2
4
a b
+
2
2
1 4
a b
c c
a b
c c+
2
2
4 4
t
t t
+ +
2
2 2
1 4
t t
+ + +
1 6
a b c
+
⇔
1 6