Đề thi thử Quốc gia lần 2 năm 2015 môn Toán trường THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đó.. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3.. Viết phương trình đường thẳng biết rằng đỉnh 1; 1.. Tìm tọa độ điể

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số = − + 3 − 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng

: = − − 2

Câu 2 (1 điểm)

1 Giải phương trình: sin 2 + 2cos − sin − 1 = 0

2 Giải phương trình: 3 − 4.3 + 27 = 0

Câu 3 (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x33x 2

và y  x 2

Câu 4 (1 điểm)

1 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa

mãn: |2 − 1| = √5

2 Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40 Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đó Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3

Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 Chân

đường cao hạ từ đỉnh S lên mp( ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho = 3 ; góc tạo bởi đường thẳng và mp( ) bằng 60 Tính theo a thể tích của khối

chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Câu 6 (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang cân có hai đáy là và

BC; biết = , = 7 Đường chéo AC có phương trình − 3 − 3 = 0; điểm

(−2; −5) thuộc đường thẳng Viết phương trình đường thẳng biết rằng đỉnh (1; 1)

Câu 7 (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ): − + + 2 = 0 và

điểm (1; −1; 2) Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm qua mặt phẳng ( ) Viết phương trình mặt cầu đường kính ′

Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình:

2

1

y

x







Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực dương , , thỏa mãn ≥ 1, ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

2

P



ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 - NĂM HỌC 2014-2015

MÔN: TOÁN HỌC

Thời gian làm bài: 180 phút

HẾT

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

- Thí sinh không được dùng tài liệu

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

1.1

(1đ)

- Khảo sát và vẽ đồ thị

1/ TXĐ : = ℝ

2/ Sự biến thiên:

 Giới hạn:

lim

→± = lim

→± (− + 3 − 2) = ∓ ∞

 Chiều biến thiên: = −3 + 3 ⟹ = 0 ⟺ = ±1 Bảng biến thiên

x  -1 1 

y’ − 0 + 0 −

y

 0

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại = −1, = −4 Hàm số đạt cực đại tại

= 1, Đ = 0 3/ Đồ thị:

- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm

(0; −2), cắt trục Ox tại các điểm (−2; 0)

và (1; 0)

- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn

(0; −2) làm tâm đối xứng

0,25đ

0,5đ

\

0,25đ

1.1

(1đ)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng

: = − −

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

− + 3 − 2 = − − 2 ⟺ − 4 = 0 ⟺ = 0

= ±2 Suy ra các tiếp điểm là: (0; −2), (2; −4), (−2; 0)

Ta có: = −3 + 3

Suy ra các tiếp tuyến là: = 3 − 2

= −9 + 14

= −9 + 18

0,25đ 0,25đ

0,5đ

2.1

(0,5đ)

sin 2 + 2cos − sin − 1 = 0

⟺ 2 sin cos + 2 cos − sin − 1 = 0

⟺ 2 cos (sin + 1) − (sin + 1) = 0

⟺ (sin + 1)(2 cos − 1) = 0

⟺ sincos = −1= ⟺ = − + 2

= ± + 2 ( ∈ ℤ)

0,25đ

0,25đ

2.2

(0,5đ)

3 − 4.3 + 27 = 0

⟺ 3 ( )− 12.3 + 27 = 0

Đặt = 3 , ( > 0), ta được phương trình:

− 12 + 27 = 0

= 9⟺ 3

= 3

2 + 4 = 1

2 + 4 = 2⟺ = −

3 2

= −1 Vậy phương trình có 2 nghiệm là:

= −3

2 ; = −1

0,25đ

0,25đ

3

(1đ)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x33x và 2 y  x 2

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho:

− + 3 − 2 = − − 2 ⟺ − 4 = 0 ⟺ = 0

= ±2 Suy ra diện tích của hình phẳng cần tính là:

= |(− + 3 − 2)— (− − 2)|

+ |(− + 3 − 2)— (− − 2)|

=

−

4 + 2

= 4 + 4 = 8 Vậy = 8 (đ )

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

4.1

(0,5đ)

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

| − | = √

Giả sử = + , ( , ∈ ℝ)

Suy ra:

|2 − 1| = √5 ⟺ |2 ( + ) − 1| = √5 ⟺ |−2 − 1 − 2 | = √5

⟺ (−2 − 1) + (−2 ) = √5

⟺ 4 + 4 + 4 + 1 = √5

5 4 Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức đã cho là một

đường tròn có tâm 0; − và bán kính =√

0,25đ

0,25đ

4.2

(0,5đ)

Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40 Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đó Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3

Giải:

- Số cách lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp là:

- Trong 40 tấm thẻ đó có : + 1 = 13 tấm thẻ mang số chia hết cho 3 + 1 = 14 tấm thẻ mang số chia 3 dư 1 + 1 = 13 tấm thẻ mang số chia 3 dư 2

- Để tổng 3 số ghi trên 3 tấm thẻ là số chia hết cho 3 thì phải xảy ra các trường hợp sau:

i Cả 3 số đều chia hết cho 3: có cách lấy

ii Cả 3 số đều chia 3 dư 1: có cách lấy iii Cả 3 số đều chia 3 dư 2: có cách lấy

iv Có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2:

có cách lấy

- Suy ra xác suất cần tính là:

380≈ 0,33

0,25đ

0,25đ

5

(1đ)

Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng Chân đường cao hạ

từ đỉnh lên mp( ) là điểm thuộc cạnh sao cho = ; góc tạo bởi đường thẳng và mp( ) bằng Tính theo thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và

+ Nhận thấy ⊥ ( ) ⇒ là hình chiếu của trên mặt phẳng (ABC)

⇒ = 60 là góc giữa SC và mp(ABC)

Ta có: = + − 2 cos 60 = 9 + − 2.3 = 7

⇒ = √7 ⇒ = tan 60 = √21

0,25đ

0,25đ

+ Dựng ⃗ = ⃗⇒ // ⇒ // ( )

+ Dựng ⊥ tại E ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ) ⊥ ( ) (theo giao tuyến )

+ Dựng ⊥ tại ⇒ ⊥ ( ) ⇒ = ( ; ( ))

Ta có: = sin 60 = √

1

1

21 =

29

√21

√29

⟹ ; ( ) =3 √21

√29 Vậy ( ; ) = √

√

0,25đ

0,25đ

6

(1đ)

Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang cân có hai đáy là và BC; biết

= , = Đường chéo AC có phương trình − − = ; điểm (− ; − ) thuộc đường thẳng Viết phương trình đường thẳng biết rằng đỉnh ( ; )

Giải

+ Do ABCD là hình thang cân nên

ABCD là hình thang nội tiếp

đường tròn

Do = = nên AC là

đường phân giác trong góc

+ Gọi E là điểm đối xứng của B

qua AC ⟹ ∈

Ta có phương trình là:

3 + − 4 = 0

Gọi = ∩ ⟹ tọa độ F là nghiệm của hệ:

− 3 − 3 = 0

3 + − 4 = 0⟺

= 3 2

= −1 2

2; −

1 2

Do F là trung điểm của BE nên = (2; −2)

Lại do ∈ nên phương trình AD là: 3 − 4 − 14 = 0

+ Điểm = ∩ ⟹tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

3 − 4 − 14 = 0

− 3 − 3 = 0 ⟺

= 6

= 1⟹ = (6; 1) + Gọi = (2 + 4 ; −2 + 3 ) ∈

Do = 7 ⟹ = 49 ⟺ (4 − 4) + (3 − 3) = 49 ⟺ 25( − 1) = 49

⟺ ( − 1) =49

25⟺

− 1 =7

5

− 1 = −7

5

⟺

= 12 5

= −2 5

⟹

= 58

5 ;

26 5

= 2

5; −

16 5

Tuy nhiên, điểm B và điểm D luôn nằm về 2 phía của đường thẳng AC do đó kiểm

tra vị trí tương đối của điểm B và 2 điểm D đó ta thấy chỉ có điểm thỏa mãn

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Do đó = ; −

+ Do BC//AD nên phương trình đường thẳng BC là: 3 − 4 + 1 = 0

Điểm = ∩ ⟹tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

3 − 4 + 1 = 0

− 3 − 3 = 0 ⟺

= −3

= −2⟹ = (−3; −2) Tuy nhiên ta tính được = 5, = √13 ⇒ không phải là hính thang

cân, mâu thuẫn với giả thiết Vậy bài toán vô nghiệm

0,25đ

7

(1đ)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ): − + + = và điểm ( ; − ; ) Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm qua mặt phẳng ( ) Viết

phương trình mặt cầu đường kính ′

+ Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó Δ nhận vectơ pháp

tuyến ⃗ = (1; −1; 1) của mp(P) là vec tơ chỉ phương Do đó phương trình tham

số của Δ là:

= 1 +

= −1 −

= 2 + + Gọi = Δ ∩ ( ) ⟹ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

= 1 +

= −1 −

= 2 +

− + + 2 = 0

⟺

= −2

= −1

= 1

= 0

⟹ = (−1; 1; 0)

+ Gọi là điểm đối xứng của A qua mp(P) khi đó I là trung điểm của ′

⟹ = (−1; 3; −2) + Mặt cầu đường kính ′ có tâm là = (−1; 1; 0) và bán kính = = √12

Suy ra phương trình mặt cầu đường kính ′ là:

( + 1) + ( − 1) + = 12

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

8

(1đ)

Giải hệ phương trình:

2

1

y

x





 + ĐK: ≠ 0, − √2 ≤ ≤ √2

PT(1) ⟺ ( + 1) + = 2( + 1 − )

⟺ ( + 1)( + − 2) + ( + 2) = 0

⟺( + 2)( + 1)( − 1) + ( + 2) = 0

⟺( + 2)( + − 1) = 0

⟺ + 2 = 0 ( ạ )

+ Với + = 1 ⟹ = 1 − , thay vào PT(2) ta được PT:

4 = ( − + 3 − 2) + 1 + 1

⟺ 4( + 1 − 1) = ( − + 3 − 2) + 1 + 1

⟺ 4 + 1 + 1 + 1 − 1 = ( − + 3 − 2) + 1 + 1

⟺ − 3 − 2 = − 4 + 1 (3)

0,25đ

0,25đ

+ Do + = 1 ⟹ 0 ≤ ≤ 1

0 ≤ ≤ 1⟹

−1 ≤ ≤ 1

−1 ≤ ≤ 1 + Xét hàm số: ( )= − 3 − 2 trên đoạn [−1; 1]

Có ( )= 3 − 3 ⟹ ( ) = 0 ⟺ = ±1

Do hàm số ( ) liên tục trên đoạn [−1; 1] và (−1) = 0, (1) = −4

Suy ra

min

∈[ ; ] ( ) = −4 , max

∈[ ; ] ( ) = 0 Hay ( )≥ −4 , ∀ ∈ [−1; 1] (a)

+ Xét hàm số: ( )= − 4 + 1 trên đoạn [−1; 1]

Có ( ) = 2 − ⟹ ( ) = 0 ⟺ = 0 ∈ (−1; 1)

= ±√3 ∉ [−1; 1]

Do hàm số ( ) liên tục trên đoạn [−1; 1] và

(−1) = (1) = 1 − 4√2, (0) = −4 Suy ra

max

∈[ ; ] ( ) = −4, min

∈[ ; ] ( ) = 1 − 4√2 Hay ( )≤ −4, ∀ ∈ [−1; 1] (b)

+ Từ (a) và (b) suy ra PT(3) ⟺ ( ) = ( ) = −4 ⟺ = 1= 0 (thỏa mãn PT(1))

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất ( ; ) = (1; 0)

0,25đ

0,25đ

9

(1đ)

Cho các số thực dương , , thỏa mãn ≥ , ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

3

2

P



+ Trước hết ta chứng minh kết quả sau:

Với , > 0 thỏa mãn: ≥ 1 ta có: + ≥

√ (1) Thật vậy: (1) ⟺ ( + + 2) 1 + ≥ 2( + + )

⟺ ( + ) + + + 2 + 2 ≥ 2 + 2( + ) + 2

⟺ − 1 √ − ≥ 0 luôn đúng do ≥ 1 (đpcm)

+ Mặt khác, theo BĐT AM-GM ta có: + 2 = + 1 + 1 ≥ 3 ≥ 3

+ 1+ 1 + + 1+ 1 +

1 + 1− 2

√ + − 2 (do (1)) + Đặt = , ( ≥ 1) ta được:

≥ ( ) = (2 + 1) 2

+ 1+

1 + 1− 2 =

2 + 1+

1 + 1

Ta có: ( ) =

( ) −

( ) ( ) ≥ 0, ∀ ≥ 1

⟹ ( ) đồng biến trên [1; +∞] ⟹ ( ) ≥ (1) = , ∀ ≥ 1 ⟹ ≥

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa

- Câu 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm