Giải hệ phương trình: Câu 3.. Giải phương trình:.. Giải bất phương trình: 3.. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng li
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 15)
Câu 1 (2,5 điểm)
1 Cho hàm số (C) :
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
2 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) :
Câu 2 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình:
2 Giải hệ phương trình:
Câu 3 (1,5 điểm)
1 Giải phương
trình: .
2 Giải bất
phương trình:
3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4 (2 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều.
2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5 (2,5 điểm).
1 Tính :
2 Cho 3 số dương a,
b, c Chứng minh rằng:
3 Cho z =, Hãy tính :
(Hết)
HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 15 )
2 2 5 1
y
x
=
−
1 9
6 2
3 − + −
y
( 3 10 ) 5 3 25
.
3 x−2 + x − x−2 = x −
= +
= +
2 cos
cos
2 sin
sin
y x
y x
( cos sin ) log ( cos cos 2 ) 0
log x − x + 1 x + x =
x
x
( x3 + 1 ) ( + x2 + 1 ) + 3 x x + 1 > 0
2 3
sin
cos
x
π
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
i
− +
; z; z ;(z) ;1 z z
Trang 2b Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75
Với
0.25 TCĐ d: X =
0, TCX d’: X
- Y = 0 ⇒ T =
d(M, d) + d(M, d’) = Dấu "=" xảy ra ⇔
0.5
• Gọi M(2; m) ∈ d1: x = 2 Khi đó đt d ∋ M
⇒ d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
(C’) ⇔ hệ: có
⇔ 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
• Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
• Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m
⇒ y’ = 6(x-2) 2≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có
nghiệm duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp
tuyến đến đồ thị (C’).
0,5
0.25
0.25
Vế trái là hàm đồng
biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm
duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x = và x
= 2
0.25
1
−
=
+
−
=
y Y
x
4 7
X Y
X
−
X X
2
( )
= +
−
+
−
=
− +
−
k x
x
m x
k x
x x
9 12 3
2 1
9 6
2
2 3
( 3 5 1 ) ( 3 5 1 ) ( 3 3 5 1 ) 0 5
3 5
10 3 25
3
2 2
2 2
2 2
=
−
−
− +
−
⇔
−
=
−
+
−
−
−
−
−
−
x x
x x
x x
x
x x
( ) ( )
=
− +
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
−
−
−
−
2 0 3 5
1 0 1 5
3
0 3 5
1 5
3
2 2
2 2
x
x
x x
x x
3
1 log 2 3
1 5
1 ⇔ x−2 = ⇔ x = + 5 = − 5
( ) 2 ⇔ 5x− 2 = − x + 3
3 log
2 − 5
Trang 30.25
Thử lại thấy đúng nên:
là nghiệm của hệ phương
trình.
0.25
Điều
kiện:
Khi đó Pt
0.25
Kết hợp với điều kiện ta
được: (Với k ∊ N*).
0.25
( + ) ( + + ) = ⇔
⇒
= +
= +
2 2 cos
sin cos
sin 2
cos cos
2 sin
sin
y y
x x
y x
y x
+
=
+
=
⇔
=
−
=
−
⇔
=
− +
−
π π
π π
π
π π
π
2 4
2 4 1
4 cos
1 4
cos 2
4
cos 4
cos
l y
k x
y
x y
x
+
=
+
=
π π
π π
2 4
2 4
l y
k x
( cos sin ) log ( cos cos 2 ) 0
log x − x + 1 x + x =
x x
>
+
>
−
≠
<
0 2 cos cos
0 sin cos
1 0
x x
x x
x
+
=
⇔
−
=
⇔
2 cos
2 cos sin
2
+
−
=
+
=
⇔
+
−
−
=
+ +
=
⇔
3
2 6
2 2
2 2
2
2 2
2
π π
π π
π π
π π
k x
k x
k x
x
k x
x
3
2 6
π
π k
( x3 + 1 ) ( + x2 + 1 ) + 3 x x + 1 > 0 ⇔ ( x3 + x2) + 3 x3 + x2 + 2 > 0
0 2 3
⇔ t t
3
2
1 ≥ − +
= x x t
Trang 4Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả tập con gồm 5
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số
có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau
Vậy có tất cả = 252 số.
0,25
1 Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều 1.0
Để ∆ABC là tam giác đều ⇒
đường cao MC = AB
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
⇒ (Q): x + z + 1 = 0
0,25
Gọi d = (P) n (Q) ⇒
⇒ C ∈ d ⇒
C(-2 - 2t; t; 1 +
2t)
0,25
0,25
2
2
t
t t
≥ −
< −
5 10
C
5 10
C
6 2 /
3 =
+
=
=
−
−
=
⇔
= + +
=
− +
−
t z
t y
t x
z x
z y x d
2 1
2 2 0
1
0 1 7 8 3 :
3 2 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6
9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2/ 3
2 2 1 2; 2; 3 , ; ;
3 3 3
uuur
Trang 52 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB
⇒
0.25
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
0.25 Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có :
Vậy
0.25
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
DB, AC ta có: ,
0.25
4
2 2
4
2
2
FB
=
− +
=
4
2
2 2 2 2
FE
2
2 2
2
| 2
2
|
2
|
|
| , cos
|
2 2 2 2 2
2 2
c
a c b c GF
GE
FE GF
GE GF
GE
− +
−
=
− +
=
=
2
|
c
b
= | 2 2 2 |
cos
c
b
= α
2
2
| cos
a
c
=
β | 2 2 2 |
cos
b
a
= γ
P
Q
A
B
M
C1
C2
Trang 63 0,5
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả tập con gồm 5
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số
có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau
Đặt:
0,25
0,25
Đặt: x - 1 = tgt
0,25
5 9
C
5 9
C
cos 2.cos
/ 4
/ 4 4
0
2cos 2 cos 4 2 4 2
π π
π
1 2 0
2 2
J = ∫ x x 2− x + dx
2
1
; 2 2
dt
1 sin cos cos cos
+
F
E
G
A
C
Trang 70,25
0,25
Ta có:
0.5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
0
3 4
2
sin
1 2 2
1 1 1
4
t u
t
du
π
=
− + +
1
2
2 2ln 2 4ln 2 1
+
2
1 1
1
2 2
c b a ab c
ac b bc a
+ +
≤ +
+ +
+ +
ab c ab c
ab c ab c
ca b ca b ca b ca b
bc a bc a bc a bc a
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
≤ +
⇒
≥ +
≤ +
⇒
≥ +
≤ +
⇒
≥ +
.
+ + + + +