Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số.. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị và hàng chục đều là chữ số chẵn.. Viết phương trình mặt cầu S, đi qua điểm A, tiếp xúc
Trang 1Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = (1), m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1
b Tìm m để đường thẳng d: y = x + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng √ (O là gốc tọa độ)
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình 2 sin2x + √ sin2x – 2 = 0
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( )
Câu 4 (1 điểm)
a Giải phương trình log2(9x – 4) = xlog2 3+ √ √
b Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp S Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị và hàng chục đều là chữ số chẵn
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y – z +8 = 0 và
điểm A(2;2;3) Viết phương trình mặt cầu (S), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có
tâm thuộc trục hoành
Câu 6 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ̂ = 600
Cạnh bên SD = a√ Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3 HB Gọi M là trung điểm của cạnh SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính
khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SB
Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao và đường trung
tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là x – 3y = 0 và x + 5y = 0 Đỉnh C nằm trên đường thẳng : x + y – 2 = 0 và có hoành độ dương Tìm tọa độ các điểm của tam giác ABC, biết
đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C đi qua điểm E(-2;6)
Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình { ( )
√ ( )√
Câu 9 (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và (x +z)(z+y) = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = ( ) ( ) ( )
HẾT
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ĐỀ THI THỬ LẦN 1 KỲ THI
MÔN : TOÁN THỜI GIAN: 180 phút (không kể thời gian phát
đề)
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
a (1 đ)
- TXĐ: D = R\{1}
- Sự biến thiên: y’ = ( ) , y’ <0, x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ) ( ) 0,25 - Giới hạn: = - ; = + ; = 2; = 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2 0,25 - Bảng biến thiên : 0,25 x 1
y’ - 0 -
y 2
2
- Đồ thị 0,25 Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;-1); cắt trục hoành tại điểm (- ;0) Đồ thị nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng b (1đ) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (1) là
( ) Điều kiện x
( ) ( )( ) ( )
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Điều kiện cần và đủ là: { { {
0,25 Khi đó gọi các nghiệm của phương trình (3) là x1; x2 Tọa độ các giao điểm A(x1; x1 +2); B(x2; x2
+ 2)
Trang 3AB = √( ) ( ) = √ ( ) = √ ( ( )
= √ ( ) 0,25
d: y = x + 2 x – y + 2 = 0 Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là d(O;d) = | |√ = √ 0,25
Diện tích tam giác OAB = √ ( ) √
√ √ ( ) = √ 9 + 4m = 21 0,25
Câu 2: Giải phương trình
2sin2 x + √ sin 2x – 2 = 0 + √ sin 2x – 2 = 0 0,25
√ √ sin 2x -
( ) = sin 0,25
[
0,25
[
0,25
Câu 3: Tính tích phân
∫ ( ) =∫ = ∫ ( )
= ∫ ( ) ∫ 0,25
M = ∫ ( ) ( | | | = +1 0,25
N = ∫ Đặt t = ln x
Đổi cận x = e t =2
N = ∫ = ln | | | = ln 2 – ln1 = ln2 0,25 Vậy I = 0,25
Trang 4Câu 4
a 0,5 đ Giải phương trình
log2 (9x – 4) = x log2 3 + √ √
Điều kiện 9x – 4 > 0 log9 4
log2 (9x – 4) = log2 (9x – 4) log2 (9x – 4) = log2 (3x 3) 0,25
9x
– 4 = 3x 3 32x
– 3.3x – 4 = 0 [
log34 (tm) 0,25
b 0,5 đ
Số phần tử của tập hợp S là 90
Gọi ̅̅̅ là số tự nhiên có 2 chữ số mà a, b đều là số chẵn Ta có a * +
* + a có 4.5 = 20 số ̅̅̅ 0,25
Xác suất để chọn được số tự nhiên có hàng chục và hàng đơn vị đều là số chẵn là = 0,25
Câu 5
Gọi tâm mặt cầu (S) là I (x;0;0) Mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;2;3) tiếp xúc với (P) nên ta
có IA = d(I,(P)) √( ) = | |
√
√( ) = | |
√ 0,25 √ √( ) = | | 14(( ) )=(2x+8)2
14(x2
– 4x+17) = 4x2 + 32x +64 10x2
– 88x + 174 = 0
[ 0,25
Với x = 3 I (3;0;0) IA = √ Phương trình mặt cầu (S) là
(x-3)2 + y2 + z2 = 14 0,25
Với x = I ( ;0;0) IA =√ Phương trình mặt cầu (S) là
(x- )2 + y2 + z2 = 0,25
Trang 5Câu 6:
Từ giả thiết có tam giác ABC đều cạnh bằng a
Gọi O = AC BD BO = √ BD = a√ BD = a√
SH2 = SD2 – HD2 = 2a2 -
=
√
Diện tích tứ giác ABCD là SABCD = AB.BC.sin ̂ = a2
Sin 600 = √
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SH SABCD = √ √ = √ 0,25
SB2 + SH2 + HB2 = + √
{
( ) AC 0,25
Diện tích tam giác MAC là SMAC = OM.AC = SB.AC = √ √ 0,25
SB // OM SB //(MAC) ( ) = d(SB,(MAC)) = d(S,(MAC)
= d(D,(MAC)
VM.ACD = d(M, (ABCD)) SACD = d(S,(ABCD)) SABCD = VS.ABCD
Trang 6=
√
Mặt khác VM.ACD = d(D, (MAC)).SMAC (D,(MAC) =
=
√
√ = √ 0,25
Câu 7
Gọi d1: x – 3y = 0 ; d2 : x+ 5y = 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt { –
{
( )
C (c; 2-c)
BC d1
Điểm C(c; 2-c) c + 2 – c + m = 0
: 3x + y – 2c – 2 = 0
Gọi M là trung điểm cạnh BC Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
{ {
M(
) 0,25
Gọi G là trọng tâm của tam giác Ta có
→ =
→ {
{
→ = (c+2; -4-c) ;
→ = ( ; )
Do E, G, C thẳng hàng nên
→
→ cùng phương 0,25
{
c2 – 5c – 6 = 0 [ c = 6 ( )
Trang 7Với c = 6 ( ) { (4;2) 0,25
Câu 8: Giải hệ pt
Điều kiện: x
x - ( ) = - ( ) = ( ) ( )
( ) ( ) [ ( ) 0,25
Với y = ( ) thay vào pt √ = (x+1)√ + 2 ta có:
√ ( ) = (x+1)| | + 2
Xét x > -1 Đặt t = x + 1 (t>0) Ta có pt;
8t2 + 9 = t2 + 2 8t2
+ 9 = t4 + 4t2 + 4 t4
- 4t2 – 5 = 0 [
√ √ x = -1 +√ 0,25
Xét x < -1 Đặt t = x + 1 (t<0) Ta có pt
8t2 + 9 = - t2 + 2 {
{
{[ √
√
0,25
Hệ vô nghiệm
Với (x+1)y = -1 thay vào √ = (x+1)√ + 2 ta có: 8y + 9 + √ - 2 = 0 (3)
Vì y > 0suy ra 8y + 9 > 9 suy ra 8y + 9 > 3 (3) vô nghiệm 0,25
Vậy pt đã cho có nghiệm { √
Câu 9:
Trang 8Đặt x + z = a Từ giả thiết ta có (x+z)(y+z) = 1 suy ra y + z =
Do x > y x +z > y + z a > 1
Ta có x – y = x + z – (y + z) = a - = 0,25
P =
( ) + + 4 =
( ) + 3 + Khi đó P ( ) + 3 + 4 0,25
Đặt t = > 1 Xét hàm số f(t) = ( ) + 3t + 4 với t > 1
Ta có f’(t) = ( ) + 3 ( ) ( )(3t2 – 3t +2) = 0 t = 2
Bảng xét dấu 0,25
t 1 2 +
f’(t) - 0 +
f(t)
12
Từ bảng biến thiên có f(t) 12, Từ (1) và (2) P 12 Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi { √
√
Chẳng hạn khi { √
√ √ √
